Resolva a equação y^prime prime-lambda y=0, para
lambda<0.

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a equação diferencial , onde é um número negativo ( ). Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais fácil de trabalhar. Sabemos que y'' + mu y = 0 é negativo, então podemos escrever , onde . Assim, a equação fica:
Isso ajuda porque agora temos uma equação com sinais positivos, o que facilita encontrar as soluções.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial homogênea r^2 + mu = 0 . A solução dessa equação depende das raízes da equação característica associada. A equação característica é:
r = pm iraizmu
Resolvendo para , temos:
Aqui, é a unidade imaginária, pois a raiz é negativa.

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear das funções cosseno e seno. Assim, a solução geral é:
y(x) = C1 cos(raizmu, x) + C2 sin(raizmu, x)
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Passo 5

Lembrando que y(x) = C1 cos(raiz-lambda, x) + C2 sin(raiz-lambda, x) , podemos substituir de volta na solução:
Isso nos dá a solução geral da equação original para .

Resposta

A solução geral da equação y(x) = C1 cos(raiz-lambda, x) + C2 sin(raiz-lambda, x) , com , é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados