Resolva a equação
, para
.
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a equação diferencial
, onde
é um número negativo (
). Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais fácil de trabalhar. Sabemos que
é negativo, então podemos escrever
, onde
. Assim, a equação fica:
Isso ajuda porque agora temos uma equação com sinais positivos, o que facilita encontrar as soluções.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. A solução dessa equação depende das raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Resolvendo para
, temos:
Aqui,
é a unidade imaginária, pois a raiz é negativa.
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear das funções cosseno e seno. Assim, a solução geral é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Passo 5
Lembrando que
, podemos substituir de volta na solução:
Isso nos dá a solução geral da equação original
para
.
Resposta
A solução geral da equação
, com
, é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.