Encontre a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
Isso envolve trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar técnicas para resolver tanto a parte homogênea quanto a parte particular da equação. Vamos precisar usar métodos de solução para equações homogêneas e encontrar uma solução particular para o lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, resolvemos:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pelo fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática:
Obtemos uma raiz dupla
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma solução particular para
e outra para a constante
.
Passo 5
Para o termo
, como já temos
na solução homogênea, precisamos multiplicar por
mais uma vez para evitar a duplicidade. Assim, assumimos:
Derivamos
para substituir na equação e encontrar
e
.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Simplificando:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Isso nos dá:
Como isso não faz sentido (A deve ser constante), percebemos que precisamos ajustar nossa suposição. Isso acontece porque já temos uma solução na parte homogênea. Portanto, multiplicamos por
novamente.
Passo 8
Ajustando nossa suposição para
, calculamos novamente as derivadas e substituímos na equação para encontrar
e
. Após o cálculo, obtemos
e
.
Então:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo constante
. Assumimos que
, onde
é uma constante. Substituindo na equação:
Então:
Passo 10
A solução particular total é a soma das soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.