Encontre a solução geral da equação
y^prime prime-2 y^prime+y=t e^t+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + y = t e^t + 4
Isso envolve trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar técnicas para resolver tanto a parte homogênea quanto a parte particular da equação. Vamos precisar usar métodos de solução para equações homogêneas e encontrar uma solução particular para o lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' - 2y' + y = 0
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma r^2 e^rt - 2r e^rt + e^rt = 0 Rightarrow e^rt(r^2 - 2r + 1) = 0 . Substituindo na equação, temos:
r^2 - 2r + 1 = 0
Como nunca é zero, resolvemos:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pelo fórmula de Bhaskara.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 42 = 2 pm 02 = 1
Obtemos uma raiz dupla yh(t) = (C1 + C2 t) e^t . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular y'' - 2y' + y = t e^t + 4 para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma solução particular para e outra para a constante .

Passo 5

Para o termo yp1(t) = t(A t + B) e^t = (A t^2 + B t) e^t , como já temos na solução homogênea, precisamos multiplicar por mais uma vez para evitar a duplicidade. Assim, assumimos:
Derivamos para substituir na equação e encontrar e .

Passo 6

Calculando as derivadas de yp1'(t) = (2A t + B)e^t + (A t^2 + B t)e^t = (A t^2 + (2A + B) t + B) e^t :
yp1''(t) = (2A)e^t + (2A t + B)e^t + (A t^2 + (2A + B) t + B)e^t
yp1''(t) = (A t^2 + (4A + B) t + (2A + 2B)) e^t
Simplificando:

Passo 7

Substituindo (A t^2 + (4A + B) t + (2A + 2B)) e^t - 2(A t^2 + (2A + B) t + B) e^t + (A t^2 + B t) e^t = t e^t , (A t^2 + (4A + B) t + 2A + 2B) - 2(A t^2 + (2A + B) t + B) + A t^2 + B t = t e (A - 2A + A) t^2 + ((4A + B) - 4A - 2B + B) t + (2A + 2B - 2B) = t na equação original:
0 t^2 + (0) t + 2A = t
Simplificando os termos:
2A = t
Isso nos dá:
Como isso não faz sentido (A deve ser constante), percebemos que precisamos ajustar nossa suposição. Isso acontece porque já temos uma solução na parte homogênea. Portanto, multiplicamos por novamente.

Passo 8

Ajustando nossa suposição para yp1(t) = 12 t^3 e^t , calculamos novamente as derivadas e substituímos na equação para encontrar e . Após o cálculo, obtemos e .
Então:

Passo 9

Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo constante 0 - 0 + C = 4 Rightarrow C = 4 . Assumimos que yp2(t) = 4 , onde é uma constante. Substituindo na equação:
Então:

Passo 10

A solução particular total é a soma das soluções particulares encontradas:
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = 12 t^3 e^t + 4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^t + 12 t^3 e^t + 4
Onde e são constantes arbitrárias.

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