Determine uma equação do plano tangente no ponto (4,-2,1) à superfície parametrizada S dada por r(u, v)=v^2 i-u v j+u^2 k, 0 <= u <= 3,-3 <= v <= 3

Passo 1

O problema é achar a equação do plano tangente à superfície parametrizada r(u,v)=v^2i-uvj+u^2k no ponto (4,-2,1). O conteúdo envolve superfícies paramétricas, derivadas parciais para obter vetores tangentes e produto vetorial para achar a normal do plano.

Passo 2

Primeiro a gente encontra quais (u,v) geram o ponto dado. Daí temos o sistema:
v^2=4, -uv=-2, u^2=1

Passo 3

Da primeira equação v^2=4 vem v=pm2. Da terceira u^2=1 vem u=pm1. Substituindo em -uv=-2 só bate para u=1,;v=2.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais:
ru=partialrpartial u=(0,-v,2u)|(1,2)=(0,-2,2),
rv=partialrpartial v=(2v,-u,0)|(1,2)=(4,-1,0)

Passo 5

A normal ao plano tangente é o produto vetorial rutimes rv. Calculando:
rutimes rv=i&j&k0&-2&24&-1&0=(2)i+(8)j+(8)k Podemos simplificar essa normal pra (1,4,4).

Passo 6

A equação do plano com normal (1,4,4) que passa por (4,-2,1) é dada por:
1(x-4)+4(y+2)+4(z-1)=0

Passo 7

Simplificando o resultado fica:

Resposta

x+4y+4z=0

Exercícios relacionados