Se
e
são funções com derivadas de segunda ordem, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o Laplaciano do produto de duas funções f e g satisfaz a fórmula da identidade de produto. O conteúdo principal é cálculo vetorial: definições de gradiente, divergente e Laplaciano, além das regras do produto para esses operadores.
Passo 2
Lembrando a definição de Laplaciano de uma função h:
e que o gradiente de um produto é dado pela regra do produto:
Passo 3
Aplicamos então diretamente a definição ao produto fg:
Passo 4
Substituindo a regra do produto para o gradiente:
e, por linearidade da divergente,
Passo 5
Usamos agora a regra do produto para divergente: para qualquer função escalar φ e campo vetorial A,
Aplicando em cada termo:
Passo 6
Somando os dois resultados e lembrando que
, obtemos
que é exatamente a identidade que queríamos demonstrar.