Se f e g são funções com derivadas de segunda ordem, mostre que
nabla^2(f g)=f nabla^2 g+g nabla^2 f+2 nabla f cdot nabla g

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o Laplaciano do produto de duas funções f e g satisfaz a fórmula da identidade de produto. O conteúdo principal é cálculo vetorial: definições de gradiente, divergente e Laplaciano, além das regras do produto para esses operadores.

Passo 2

Lembrando a definição de Laplaciano de uma função h:
nabla^2 h = nabla cdot (nabla h),
e que o gradiente de um produto é dado pela regra do produto:
nabla(fg)=f,nabla g + g,nabla f

Passo 3

Aplicamos então diretamente a definição ao produto fg:
nabla^2(fg)=nablacdotl(nabla(fg)r)

Passo 4

Substituindo a regra do produto para o gradiente:
nabla^2(fg)=nablacdotl(f,nabla g + g,nabla fr)
e, por linearidade da divergente,
nabla^2(fg)=nablacdot(f,nabla g)+nablacdot(g,nabla f)

Passo 5

Usamos agora a regra do produto para divergente: para qualquer função escalar φ e campo vetorial A,
nablacdot(phi A)=nablaphicdot A + phi,nablacdot A
Aplicando em cada termo:
nablacdot(f,nabla g)=nabla fcdotnabla g + f,nabla^2 g,
nablacdot(g,nabla f)=nabla gcdotnabla f + g,nabla^2 f

Passo 6

Somando os dois resultados e lembrando que nabla fcdotnabla g=nabla gcdotnabla f, obtemos
nabla^2(fg)=f,nabla^2 g + g,nabla^2 f + 2,nabla fcdotnabla g,
que é exatamente a identidade que queríamos demonstrar.

Resposta

nabla^2(f g)=f,nabla^2 g+g,nabla^2 f+2,nabla fcdotnabla g

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