Determine a equação do plano tangente e da reta normal à
no ponto dado:
no ponto
Passo 1
O problema pede duas coisas aplicadas à superfície dada por
no ponto
: a equação do plano tangente e a equação da reta normal naquele ponto.\n
Informações dadas pelo enunciado:
Informações dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto onde queremos o plano tangente e a reta normal é
. - Como
, o ponto realmente está sobre a superfície .
Passo 2
O que é preciso saber para construir o plano tangente e a reta normal (explicação didática):
- Para uma superfície dada por
, o plano tangente em tem a forma
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e a
.\n
- Intuição rápida sobre derivadas parciais:
é a taxa de variação de quando apenas varia (com fixo em ). Similarmente, é a taxa de variação quando apenas varia (com fixo em ).\n - A reta normal ao plano tangente (reta que é perpendicular ao plano) passa pelo ponto
e tem direção dada pelo vetor normal ao plano. Um vetor normal ao plano tangente de pode ser tomado como
ou qualquer múltiplo desse vetor. Com esse vetor, a reta normal paramétrica é
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(explicando o passo a passo):
- Para
: tratamos como constante e derivamos em relação a . Como é constante, é como derivar e multiplicar por . A derivada de é . Logo,
- Para
: tratamos como constante e derivamos em relação a . Aqui é constante multiplicando , então a derivada é simplesmente . Logo,
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto dado
(a parte
do ponto):
- Substituindo em
com , :
- Substituindo em
com :
Passo 5
Montar a equação do plano tangente usando a fórmula apresentada no Passo 2:
- Tomando
, , , , , a fórmula
fica
- Agora simplificamos passo a passo:
- Se preferirmos a forma implícita do plano (toda igual a zero), isolamos tudo no lado esquerdo:
Passo 6
Encontrar o vetor normal ao plano tangente (explicando a escolha) e escrever a reta normal:
- Uma escolha prática de vetor normal, como dito no Passo 2, é
Isso funciona porque esse vetor é ortogonal a todos os vetores tangentes gerados pelas variações em
e
.\n
- A reta normal que passa por
com direção tem equações paramétricas (usando parâmetro ):
- Podemos também escrever a reta em forma simétrica (quando os denominadores não são zero):
Passo 7
Recapitulando de forma curta e incentivadora: já calculamos as derivadas parciais, montamos o plano tangente e a reta normal com todo o detalhamento algébrico para que você possa reproduzir isso na prova sem usar calculadora. Boa — você conseguiu chegar até aqui!
Resposta
Plano tangente:
.\n
Reta normal (paramétrica): .
Reta normal (paramétrica):