Determine a equação do plano tangente e da reta normal à f no ponto dado:
f(x, y)=x^{2} y no ponto (1,1,1)

Passo 1

O problema pede duas coisas aplicadas à superfície dada por f(x,y)=x^{2}y no ponto (1,1,1): a equação do plano tangente e a equação da reta normal naquele ponto.\n
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y)=x^{2}y.
  • O ponto onde queremos o plano tangente e a reta normal é (1,1,1).
  • Como f(1,1)=1^{2}\cdot 1=1, o ponto (1,1,1) realmente está sobre a superfície z=f(x,y).

Passo 2

O que é preciso saber para construir o plano tangente e a reta normal (explicação didática):
  • Para uma superfície dada por z=f(x,y), o plano tangente em (a,b,f(a,b)) tem a forma
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e a y.\n
  • Intuição rápida sobre derivadas parciais: f_x(a,b) é a taxa de variação de z quando apenas x varia (com y fixo em b). Similarmente, f_y(a,b) é a taxa de variação quando apenas y varia (com x fixo em a).\n
  • A reta normal ao plano tangente (reta que é perpendicular ao plano) passa pelo ponto (a,b,f(a,b)) e tem direção dada pelo vetor normal ao plano. Um vetor normal ao plano tangente de z=f(x,y) pode ser tomado como
\mathbf{n} = \bigl(f_x(a,b),\, f_y(a,b),\, -1\bigr),
ou qualquer múltiplo desse vetor. Com esse vetor, a reta normal paramétrica é
(x,y,z) = (a,b,f(a,b)) + t\,(f_x(a,b),\, f_y(a,b),\, -1).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y (explicando o passo a passo):
  • Para f_x(x,y): tratamos y como constante e derivamos x^{2}y em relação a x. Como y é constante, é como derivar x^{2} e multiplicar por y. A derivada de x^{2} é 2x. Logo,
f_x(x,y)=2x\,y.
  • Para f_y(x,y): tratamos x como constante e derivamos x^{2}y em relação a y. Aqui x^{2} é constante multiplicando y, então a derivada é simplesmente x^{2}. Logo,
f_y(x,y)=x^{2}.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto dado (1,1) (a parte (x,y) do ponto):
  • Substituindo em f_x(x,y)=2x y com x=1, y=1:
f_x(1,1)=2\cdot 1\cdot 1=2.
  • Substituindo em f_y(x,y)=x^{2} com x=1:
f_y(1,1)=1^{2}=1.

Passo 5

Montar a equação do plano tangente usando a fórmula apresentada no Passo 2:
  • Tomando a=1, b=1, f(1,1)=1, f_x(1,1)=2, f_y(1,1)=1, a fórmula
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b)
fica
z = 1 + 2\,(x-1) + 1\,(y-1).
  • Agora simplificamos passo a passo:
z = 1 + 2x - 2 + y - 1.
z = 2x + y - 2.
  • Se preferirmos a forma implícita do plano (toda igual a zero), isolamos tudo no lado esquerdo:
2x + y - z - 2 = 0.

Passo 6

Encontrar o vetor normal ao plano tangente (explicando a escolha) e escrever a reta normal:
  • Uma escolha prática de vetor normal, como dito no Passo 2, é
\mathbf{n} = \bigl(f_x(1,1),\, f_y(1,1),\, -1\bigr) = (2,\,1,\,-1).
Isso funciona porque esse vetor é ortogonal a todos os vetores tangentes gerados pelas variações em x e y.\n
  • A reta normal que passa por (1,1,1) com direção \mathbf{n}=(2,1,-1) tem equações paramétricas (usando parâmetro t):
x = 1 + 2t,
y = 1 + 1t,
z = 1 - 1t.
  • Podemos também escrever a reta em forma simétrica (quando os denominadores não são zero):
\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}.

Passo 7

Recapitulando de forma curta e incentivadora: já calculamos as derivadas parciais, montamos o plano tangente e a reta normal com todo o detalhamento algébrico para que você possa reproduzir isso na prova sem usar calculadora. Boa — você conseguiu chegar até aqui!

Resposta

Plano tangente: z = 2x + y - 2.\n
Reta normal (paramétrica): x=1+2t,\; y=1+t,\; z=1-t.

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