Escreva o polonômio de taylor de ordem 3 das funções dadas
f(x, y)=e^{x} \sin (y) em torno do ponto (0,0)

Passo 1

O enunciado pede: escrever o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x,y)=e^{x}\sin(y) em torno do ponto (0,0).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=e^{x}\sin(y).
  • O ponto em torno do qual vamos expandir é (0,0).
  • Queremos o polinômio de Taylor de ordem 3 (ou seja, manter termos de grau total até 3).

Passo 2

Ideia geral (explicada de forma didática): quando a função é produto de duas funções analíticas de variáveis separadas — aqui e^{x} depende só de x e \sin(y) depende só de y — é muito prático usar as séries de Taylor univariadas de cada uma e multiplicá-las, mantendo apenas termos cujo grau total (soma dos expoentes em x e y) seja \le 3.
Vou primeiro lembrar as séries:
  • A série de Taylor de e^{x} em torno de 0 é obtida a partir das derivadas e^{x} em 0. O resultado conhecido é uma série infinita com coeficientes 1/n!.
  • A série de Taylor de \sin(y) em torno de 0 vem das derivadas de \sin em 0 e tem apenas termos ímpares.
Explicar o que significa “ordem 3” / “grau total”: mantemos quaisquer monômios x^{i}y^{j} tais que i+j\le 3. Monômios com soma de expoentes maior que 3 são desprezados (são parte da ordem superior do resto).

Passo 3

Expandindo e^{x} até termos de ordem 3 (ou seja, até x^{3}):
e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + O(x^{4}).
Breve justificativa: a fórmula geral é e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}. Colocamos os primeiros quatro termos porque qualquer produto envolvendo x^{4} ou maior ultrapassaria ordem 3 quando multiplicado por algo não nulo em y.

Passo 4

Expandindo \sin(y) até termos de ordem 3 em y:
\sin(y) = y - \frac{y^{3}}{6} + O(y^{5}).
Breve justificativa: \sin(y)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\dfrac{y^{2k+1}}{(2k+1)!}. Os próximos termos seriam de ordem y^{5} ou superior, que não afetam o polinômio até ordem total 3.

Passo 5

Agora multiplicamos as duas séries e mantemos apenas termos com grau total \le 3.
Escrevendo os fatores:
e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \cdots
\sin(y) = y - \frac{y^{3}}{6} + \cdots
Produtos relevantes (mostro cada produto e o grau total):
  • 1 \cdot y = y (grau 1) — mantemos.
  • 1 \cdot \left(-\dfrac{y^{3}}{6}\right) = -\dfrac{y^{3}}{6} (grau 3) — mantemos.
  • x \cdot y = xy (grau 2) — mantemos.
  • x \cdot \left(-\dfrac{y^{3}}{6}\right) = -\dfrac{x y^{3}}{6} (grau 4) — descartamos (grau >3).
  • \dfrac{x^{2}}{2}\cdot y = \dfrac{x^{2}y}{2} (grau 3) — mantemos.
  • \dfrac{x^{2}}{2}\cdot\left(-\dfrac{y^{3}}{6}\right) tem grau 5 — descartamos.
  • \dfrac{x^{3}}{6}\cdot y tem grau 4 — descartamos.
  • demais produtos têm graus >3 e são descartados.
Somando os termos mantidos:
y \;+\; xy \;+\; \frac{x^{2}y}{2} \;-\; \frac{y^{3}}{6}.
Opcionalmente, podemos fatorar:
y\left(1 + x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6}\right).

Passo 6

Verificação (breve, para me deixar mais confiante e para você ver outra abordagem): usar a fórmula de Taylor multivariada até ordem 3 requer calcular derivadas parciais até terceira ordem em (0,0). Aqui está um resumo das derivadas avaliadas em (0,0):
  • f(0,0)=e^{0}\sin(0)=0.
  • f_{x}(x,y)=e^{x}\sin(y) então f_{x}(0,0)=0.
  • f_{y}(x,y)=e^{x}\cos(y) então f_{y}(0,0)=1.
  • f_{xx}(0,0)=0, f_{xy}(0,0)=1, f_{yy}(0,0)=0.
  • Terceiras derivadas relevantes: f_{xxy}(0,0)=1, f_{yyy}(0,0)=-1; as outras são zero em (0,0).
A fórmula de Taylor até ordem 3 (organizada por graus) dá exatamente
y \;+\; xy \;+\; \frac{x^{2}y}{2} \;-\; \frac{y^{3}}{6},
confirmando o resultado obtido pelo produto de séries.

Resposta

P_{3}(x,y)=y+xy+\dfrac{x^{2}y}{2}-\dfrac{y^{3}}{6}

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