Escreva o polonômio de taylor de ordem 3 das funções dadas
em torno do ponto
Passo 1
O enunciado pede: escrever o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
em torno do ponto
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto em torno do qual vamos expandir é
. - Queremos o polinômio de Taylor de ordem 3 (ou seja, manter termos de grau total até
).
Passo 2
Ideia geral (explicada de forma didática): quando a função é produto de duas funções analíticas de variáveis separadas — aqui
depende só de
e
depende só de
— é muito prático usar as séries de Taylor univariadas de cada uma e multiplicá-las, mantendo apenas termos cujo grau total (soma dos expoentes em
e
) seja
.
Vou primeiro lembrar as séries:
- A série de Taylor de
em torno de é obtida a partir das derivadas em . O resultado conhecido é uma série infinita com coeficientes . - A série de Taylor de
em torno de vem das derivadas de em e tem apenas termos ímpares.
Explicar o que significa “ordem 3” / “grau total”: mantemos quaisquer monômios
tais que
. Monômios com soma de expoentes maior que
são desprezados (são parte da ordem superior do resto).
Passo 3
Expandindo
até termos de ordem
(ou seja, até
):
Breve justificativa: a fórmula geral é
. Colocamos os primeiros quatro termos porque qualquer produto envolvendo
ou maior ultrapassaria ordem
quando multiplicado por algo não nulo em
.
Passo 4
Expandindo
até termos de ordem
em
:
Breve justificativa:
. Os próximos termos seriam de ordem
ou superior, que não afetam o polinômio até ordem total
.
Passo 5
Agora multiplicamos as duas séries e mantemos apenas termos com grau total
.
Escrevendo os fatores:
Produtos relevantes (mostro cada produto e o grau total):
-
(grau ) — mantemos. -
(grau ) — mantemos. -
(grau ) — mantemos. -
(grau ) — descartamos (grau ). -
(grau ) — mantemos. -
tem grau — descartamos. -
tem grau — descartamos. - demais produtos têm graus
e são descartados.
Somando os termos mantidos:
Opcionalmente, podemos fatorar:
Passo 6
Verificação (breve, para me deixar mais confiante e para você ver outra abordagem): usar a fórmula de Taylor multivariada até ordem
requer calcular derivadas parciais até terceira ordem em
. Aqui está um resumo das derivadas avaliadas em
:
-
. -
então . -
então . -
, , . - Terceiras derivadas relevantes:
, ; as outras são zero em .
A fórmula de Taylor até ordem
(organizada por graus) dá exatamente
confirmando o resultado obtido pelo produto de séries.