Escreva o polonômio de taylor de ordem 3 das funções dadas
f(x, y)=x^{3}+2 x y^{2}-y^{3}+x-y em torno do ponto (1,1)

Passo 1

O enunciado pede: escrever o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x,y)=x^{3}+2xy^{2}-y^{3}+x-y em torno do ponto (1,1).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}+2xy^{2}-y^{3}+x-y.
  • O ponto em torno do qual devemos desenvolver é (1,1).
  • A ordem do polinômio de Taylor requerida é a ordem 3.

Passo 2

Estratégia e ideia (explicação didática): vou usar a ideia do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis escrita em termos dos incrementos \,h=x-1 e \,k=y-1. A forma geral do polinômio de Taylor de ordem 3 em duas variáveis (escrita com índices para entender a estrutura) é
T_{3}(\mathbf{a}+\mathbf{h})=f(\mathbf{a})+\sum_{i} f_{x_{i}}(\mathbf{a})h_{i}+\frac{1}{2}\sum_{i,j} f_{x_{i}x_{j}}(\mathbf{a})h_{i}h_{j}+\frac{1}{6}\sum_{i,j,k} f_{x_{i}x_{j}x_{k}}(\mathbf{a})h_{i}h_{j}h_{k},
onde:
  • \mathbf{a}=(1,1) é o ponto de expansão,
  • \mathbf{h}=(h,k) com h=x-1 e k=y-1,
  • f_{x_{i}}, f_{x_{i}x_{j}}, f_{x_{i}x_{j}x_{k}} são derivadas parciais de primeira, segunda e terceira ordem avaliadas em \mathbf{a}.
    Essa fórmula diz que o polinômio é a soma da constante f(\mathbf{a}), mais as contribuições lineares (derivadas primeiras vezes incrementos), mais as quadráticas (derivadas segundas combinadas com produtos de incrementos) e as cúbicas (derivadas terceiras combinadas com produtos de três incrementos), cada uma com os fatores 1, 1, 1/2 e 1/6 respectivamente, e com fatores combinatórios quando necessário (por exemplo, para termos mistos).
Eu vou aplicar essa fórmula calculando as derivadas no ponto (1,1) e montando os termos constantes, lineares, quadráticos e cúbicos. Alternativamente (mais mecânico), é equivalente substituir x=1+h, y=1+k e expandir até termos de grau \le 3; farei os dois raciocínios de forma compatível.

Passo 3

Calcular o valor de f no ponto (1,1) (constante do polinômio):
f(1,1)=1^{3}+2\cdot 1\cdot 1^{2}-1^{3}+1-1=1+2-1+1-1=2.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem e avaliá‑las em (1,1), que fornecem os coeficientes lineares.
Derivadas:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}+2xy^{2}-y^{3}+x-y\big)=3x^{2}+2y^{2}+1,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}+2xy^{2}-y^{3}+x-y\big)=4xy-3y^{2}-1.
Avaliações em (1,1):
f_{x}(1,1)=3\cdot1^{2}+2\cdot1^{2}+1=3+2+1=6,
f_{y}(1,1)=4\cdot1\cdot1-3\cdot1^{2}-1=4-3-1=0.
Portanto a contribuição linear (usando h=x-1, k=y-1) é
f_{x}(1,1)\,h+f_{y}(1,1)\,k=6h+0\cdot k=6h.

Passo 5

Calcular as derivadas de segunda ordem e avaliá‑las em (1,1), que dão os coeficientes quadráticos.
Derivadas de segunda ordem:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}+2y^{2}+1)=6x,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}+2y^{2}+1)=4y,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4xy-3y^{2}-1)=4x-6y.
Avaliações em (1,1):
f_{xx}(1,1)=6\cdot1=6,\qquad f_{xy}(1,1)=4\cdot1=4,\qquad f_{yy}(1,1)=4\cdot1-6\cdot1= -2.
A contribuição quadrática pelo termo \tfrac{1}{2}\sum_{i,j} f_{x_{i}x_{j}}h_{i}h_{j} (em coordenadas h,k) fica:
\frac{1}{2}\big(f_{xx}(1,1)\,h^{2}+2f_{xy}(1,1)\,h k+f_{yy}(1,1)\,k^{2}\big) =\frac{1}{2}\big(6h^{2}+2\cdot4\,hk+(-2)k^{2}\big).
Calculando:
\frac{1}{2}\big(6h^{2}+8hk-2k^{2}\big)=3h^{2}+4hk-k^{2}.

Passo 6

Calcular as derivadas de terceira ordem e avaliá‑las em (1,1), que dão os coeficientes cúbicos.
Derivadas terceiras (algumas são zero):
f_{xxx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(6x)=6,
f_{xxy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(6x)=0,
f_{xyy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4y)=4,
f_{yyy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4x-6y)=-6.
Avaliações em (1,1) já aparecem acima (são constantes ou lineares em x,y, então nos pontos valem esses números).
A contribuição cúbica, usando a forma combinada (os fatores combinatórios aparecem porque permutações dão o mesmo monômio), é
\frac{1}{6}\big(f_{xxx}(1,1)\,h^{3}+3f_{xxy}(1,1)\,h^{2}k+3f_{xyy}(1,1)\,hk^{2}+f_{yyy}(1,1)\,k^{3}\big).
Substituindo os valores:
\frac{1}{6}\big(6h^{3}+3\cdot0\cdot h^{2}k+3\cdot4\cdot hk^{2}+(-6)k^{3}\big) =\frac{1}{6}\big(6h^{3}+12hk^{2}-6k^{3}\big).
Calculando:
h^{3}+2hk^{2}-k^{3}.

Passo 7

Resumo das contribuições por grau (lembrando h=x-1 e k=y-1):
  • Constante: 2.
  • Linear: 6h.
  • Quadrática: 3h^{2}+4hk-k^{2}.
  • Cúbica: h^{3}+2hk^{2}-k^{3}.

Resposta

P_{3}(x,y)=2+6(x-1)+3(x-1)^{2}+4(x-1)(y-1)-(y-1)^{2}+(x-1)^{3}+2(x-1)(y-1)^{2}-(y-1)^{3}

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