Escreva o polonômio de taylor de ordem 3 das funções dadas
em torno do ponto
Passo 1
O enunciado pede: escrever o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
em torno do ponto
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto em torno do qual devemos desenvolver é
. - A ordem do polinômio de Taylor requerida é a ordem
.
Passo 2
Estratégia e ideia (explicação didática): vou usar a ideia do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis escrita em termos dos incrementos
e
. A forma geral do polinômio de Taylor de ordem 3 em duas variáveis (escrita com índices para entender a estrutura) é
onde:
-
é o ponto de expansão, -
com e , -
, , são derivadas parciais de primeira, segunda e terceira ordem avaliadas em .
Essa fórmula diz que o polinômio é a soma da constante, mais as contribuições lineares (derivadas primeiras vezes incrementos), mais as quadráticas (derivadas segundas combinadas com produtos de incrementos) e as cúbicas (derivadas terceiras combinadas com produtos de três incrementos), cada uma com os fatores , , e respectivamente, e com fatores combinatórios quando necessário (por exemplo, para termos mistos).
Eu vou aplicar essa fórmula calculando as derivadas no ponto
e montando os termos constantes, lineares, quadráticos e cúbicos. Alternativamente (mais mecânico), é equivalente substituir
,
e expandir até termos de grau
; farei os dois raciocínios de forma compatível.
Passo 3
Calcular o valor de
no ponto
(constante do polinômio):
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem e avaliá‑las em
, que fornecem os coeficientes lineares.
Derivadas:
Derivadas:
Avaliações em
:
Portanto a contribuição linear (usando
,
) é
Passo 5
Calcular as derivadas de segunda ordem e avaliá‑las em
, que dão os coeficientes quadráticos.
Derivadas de segunda ordem:
Derivadas de segunda ordem:
Avaliações em
:
A contribuição quadrática pelo termo
(em coordenadas
) fica:
Calculando:
Passo 6
Calcular as derivadas de terceira ordem e avaliá‑las em
, que dão os coeficientes cúbicos.
Derivadas terceiras (algumas são zero):
Derivadas terceiras (algumas são zero):
Avaliações em
já aparecem acima (são constantes ou lineares em
, então nos pontos valem esses números).
A contribuição cúbica, usando a forma combinada (os fatores combinatórios aparecem porque permutações dão o mesmo monômio), é
A contribuição cúbica, usando a forma combinada (os fatores combinatórios aparecem porque permutações dão o mesmo monômio), é
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 7
Resumo das contribuições por grau (lembrando
e
):
- Constante:
. - Linear:
. - Quadrática:
. - Cúbica:
.