Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
(x-x^3) d y-(y+x^3+x^2 y) d x=0

Passo 1

Estamos com a equação diferencial (x - x^3),dy - (y + x^3 + x^2y),dx = 0, que é do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. O conteúdo aqui é fator integrante para tornar a equação exata — vamos precisar identificar M e N, testar exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante só em função de x ou só em função de y.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão:
M(x,y) = y + x^3 + x^2y, N(x,y) = x^3 - x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1 + x^2, partial Npartial x = 3x^2 - 1

Passo 4

Elas não são iguais, logo não é exata. Testamos fator integrante só em x usando
partial Mpartial y - partial Npartial xN = (1 + x^2) - (3x^2 -1)x^3-x = -2x, que depende apenas de x. Assim mu(x) = e^integral -2/x,dx = x^-2

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-2 e obtemos
widetilde M = Mx^2 = yx^2 + x + y, widetilde N = Nx^2 = x - 1x,

Passo 6

Agora ela é exata porque
partial widetilde Mpartial y = 1 + 1x^2 = partial widetilde Npartial x

Passo 7

Procuramos Psi(x,y) tal que
Psix = widetilde M, Psiy = widetilde N

Passo 8

Integramos Psix em relação a x:
Psi(x,y) = integral l(yx^2 + x + yr)dx = -yx + x^22 + xy + h(y) Derivando em relação a y e igualando a widetilde N h'(y)=0, então h(y)=C.

Passo 9

A solução implícita final é
xy - yx + x^22 = C

Resposta

xy - \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{2} = C

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