Determine a equação do plano que é tangente a superfície definida implicitamente por z^3-(x^2+y^2) z+2=0 no ponto P(1,2,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por z^3 - (x^2 + y^2)z + 2 = 0 no ponto P(1,2,2). O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente de uma função implícita e a fórmula do plano tangente a superfícies implícitas.

Passo 2

Definimos a função F(x,y,z) = z^3 - (x^2 + y^2)z + 2 e calculamos as derivadas parciais: Fx = -2xz, Fy = -2yz e Fz = 3z^2 - (x^2 + y^2).

Passo 3

Avaliamos as derivadas no ponto P(1,2,2): Fx(1,2,2) = -2cdot1cdot2 = -4, Fy(1,2,2) = -2cdot2cdot2 = -8 e Fz(1,2,2) = 3cdot2^2 - (1^2 + 2^2) = 12 - 5 = 7.

Passo 4

Usamos a fórmula do plano tangente:
Fx(P)(x - x0) + Fy(P)(y - y0) + Fz(P)(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
-4(x-1) -8(y-2) +7(z-2) = 0
Expandindo:
-4x + 4 -8y + 16 +7z -14 = 0
Agrupando termos:
-4x -8y +7z +6 = 0

Resposta

-4x -8y +7z +6 = 0

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