Determine o valor máximo para a soma dos cossenos dos ângulos internos de um triângulo.

Passo 1

O enunciado quer saber qual é o valor máximo de cos A + cos B + cos C para os ângulos internos A,B,C>0 de um triângulo, com A+B+C=pi. O assunto é otimização em trigonometria e vamos usar a concavidade da função cos x no intervalo [0,pi].

Passo 2

A função f(x)=cos x tem segunda derivada f''(x)=-cos x, que é não-positiva para xin[0,pi]. Isso significa que cos x é uma função côncava nesse intervalo, e podemos aplicar a desigualdade de Jensen.

Passo 3

Pelo teorema de Jensen, para pesos iguais 1/3 em cada ângulo, vale
cos A + cos B + cos C3 <= cosl(A+B+C3r)
Como A+B+C=pi, temos cos(pi/3)=1/2. Logo
cos A + cos B + cos C <= 3cdot12 = 32
A igualdade ocorre quando A=B=C=pi/3, ou seja, no triângulo equilátero.

Resposta

32

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