Determine o valor máximo para a soma dos cossenos dos ângulos internos de um triângulo.
Passo 1
O enunciado quer saber qual é o valor máximo de
para os ângulos internos
de um triângulo, com
. O assunto é otimização em trigonometria e vamos usar a concavidade da função
no intervalo
.
Passo 2
A função
tem segunda derivada
, que é não-positiva para
. Isso significa que
é uma função côncava nesse intervalo, e podemos aplicar a desigualdade de Jensen.
Passo 3
Pelo teorema de Jensen, para pesos iguais
em cada ângulo, vale
Como
A igualdade ocorre quando
, ou seja, no triângulo equilátero.