Suponha que a temperatura em um ponto qualquer da esfera seja dada, em graus, por . Em quais pontos desta esfera a temperatura é máxima? Em quais pontos da esfera a temperatura é mímima?
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos encontrar os pontos da esfera onde a temperatura atinge valor máximo e mínimo. Conteúdo: otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função de restrição e introduzimos o multiplicador . A condição de máximo/minimo é
ou seja
Passo 3
Das componentes igualamos:
Também vale x^2+y^2+z^2=4.
Passo 4
Analisamos o caso z=0: daí T=0. Esses pontos satisfazem as equações (com lambda=0), mas o valor T=0 não é nem o máximo nem o mínimo absoluto, pois encontraremos valores maiores em módulo.
Passo 5
Para zneq0 dividimos a terceira equação por 2z obtendo
x y = lambda Igualando com as duas primeiras:
y z^2/(2x)=x z^2/(2y)implies y^2=x^2implies y=pm x,
e
lambda = y z^2/(2x) = x y implies 2x^2= z^2
Passo 6
Usando y=pm x e z^2=2x^2 no círculo x^2+y^2+z^2=4 temos
x^2+x^2+2x^2=4x^2=4implies x^2=1implies x=pm1
Logo y=pm x e z=pmraiz2.
Passo 7
Avaliamos T=x y z^2=2x y:
se y=x, então T=2>0 (máximo), e se y=-x, então T=-2<0 (mínimo).
Resposta
Temperatura máxima T=2 nos pontos
(1,1,±√2) e (-1,-1,±√2).
Temperatura mínima T=-2 nos pontos
(1,-1,±√2) e (-1,1,±√2).