Suponha que a temperatura em um ponto qualquer da esfera x^2+y^2+z^2=4 seja dada, em graus, por T(x, y, z)=x y z^2. Em quais pontos desta esfera a temperatura é máxima? Em quais pontos da esfera a temperatura é mímima?

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos encontrar os pontos da esfera x^2+y^2+z^2=4 onde a temperatura T(x,y,z)=x y z^2 atinge valor máximo e mínimo. Conteúdo: otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de restrição g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4=0 e introduzimos o multiplicador lambda. A condição de máximo/minimo é
nabla T = lambda , nabla g
ou seja
(y z^2, ; x z^2, ; 2 x y z) = lambda (2x,;2y,;2z)

Passo 3

Das componentes igualamos:
y z^2 = 2lambda x, x z^2 = 2lambda y, 2 x y z = 2lambda z Também vale x^2+y^2+z^2=4.

Passo 4

Analisamos o caso z=0: daí T=0. Esses pontos satisfazem as equações (com lambda=0), mas o valor T=0 não é nem o máximo nem o mínimo absoluto, pois encontraremos valores maiores em módulo.

Passo 5

Para zneq0 dividimos a terceira equação por 2z obtendo
x y = lambda Igualando com as duas primeiras:
y z^2/(2x)=x z^2/(2y)implies y^2=x^2implies y=pm x,
e
lambda = y z^2/(2x) = x y implies 2x^2= z^2

Passo 6

Usando y=pm x e z^2=2x^2 no círculo x^2+y^2+z^2=4 temos
x^2+x^2+2x^2=4x^2=4implies x^2=1implies x=pm1
Logo y=pm x e z=pmraiz2.

Passo 7

Avaliamos T=x y z^2=2x y:
se y=x, então T=2>0 (máximo), e se y=-x, então T=-2<0 (mínimo).

Resposta

Temperatura máxima T=2 nos pontos
(1,1,±√2) e (-1,-1,±√2).
Temperatura mínima T=-2 nos pontos
(1,-1,±√2) e (-1,1,±√2).

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