Num experimento uma placa tem sua temperatura associada a localização por
onde a temperatura
. Determine o dominio e represente graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função da temperatura em uma placa, dada por $ T(x, y) = \sqrt{\frac{y - x^{2}}{x + 2}} $. A gente precisa descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de $ x $ e $ y $ essa expressão faz sentido, e depois representar isso graficamente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre raízes quadradas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada, $ \frac{y - x^{2}}{x + 2} $, precisa ser não negativa porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Além disso, o denominador $ x + 2 $ não pode ser zero, já que divisão por zero é indefinida. Então, temos duas condições:
- $ \frac{y - x^{2}}{x + 2} \geq 0 $
- $ x + 2 \neq 0 $
Passo 3
Vamos analisar a segunda condição primeiro: $ x + 2 \neq 0 $. Isso significa que $ x \neq -2 $. Então, $ x = -2 $ está excluído do domínio.
Passo 4
Agora, vamos para a primeira condição: $ \frac{y - x^{2}}{x + 2} \geq 0 $. Para que uma fração seja não negativa, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
Vamos analisar os casos:
Caso 1: $ x + 2 > 0 $
Isso implica que $ x > -2 $. Para que a fração seja não negativa, o numerador também deve ser positivo:
Isso implica que $ x > -2 $. Para que a fração seja não negativa, o numerador também deve ser positivo:
Caso 2: $ x + 2 < 0 $
Isso implica que $ x < -2 $. Para que a fração seja não negativa, o numerador também deve ser negativo:
Isso implica que $ x < -2 $. Para que a fração seja não negativa, o numerador também deve ser negativo:
Passo 5
Resumindo, o domínio da função $ T(x, y) $ é formado por dois conjuntos:
- Todos os pontos $ (x, y) $ onde $ x > -2 $ e $ y \geq x^{2} $.
- Todos os pontos $ (x, y) $ onde $ x < -2 $ e $ y \leq x^{2} $.
Passo 6
Agora, vamos representar isso graficamente. Imagine o gráfico da parábola $ y = x^{2} $:
- Para $ x > -2 $, a região válida está acima da parábola.
- Para $ x < -2 $, a região válida está abaixo da parábola.
O ponto $ x = -2 $ não está incluído no domínio, então essa linha vertical será tracejada.
Passo 7
Então, o gráfico do domínio será dividido em duas partes:
- À direita de $ x = -2 $: A área acima da parábola $ y = x^{2} $.
- À esquerda de $ x = -2 $: A área abaixo da parábola $ y = x^{2} $.
Resposta
O domínio da função $ T(x, y) = \sqrt{\frac{y - x^{2}}{x + 2}} $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ onde:
- $ x > -2 $ e $ y \geq x^{2} $, ou
- $ x < -2 $ e $ y \leq x^{2} $.
Graficamente, isso corresponde às regiões acima da parábola $ y = x^{2} $ para $ x > -2 $ e abaixo da parábola para $ x < -2 $, com uma linha vertical tracejada em $ x = -2 $.