Verifique se as séries convergeI
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries pelo teste de comparação (especialmente o teste de comparação na forma de limite). Vamos precisar identificar o termo geral
e compará-lo a uma série conhecida.
Passo 2
Definimos o termo geral
Para grandes
, os termos de ordem inferior (
e
) tornam-se desprezíveis em relação às potências mais altas. Assim, temos a equivalência assintótica
Isso sugere comparar nossa série com a série harmônica
, que é conhecida por divergir.
Passo 3
O teste de comparação na forma de limite diz que, se existir
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Aqui escolhemos
.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Dividindo numerador e denominador por
, obtemos
Como
, nossa série se comporta como a harmônica.
Passo 5
A série harmônica
diverge. Pelo teste de comparação por limite, concluímos que
também diverge.
Resposta
A série diverge.