Verifique se as séries convergeI
b) sumn=1^infty n^3-5n^4-5 n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty n^3-5n^4-5n
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries pelo teste de comparação (especialmente o teste de comparação na forma de limite). Vamos precisar identificar o termo geral an e compará-lo a uma série conhecida.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = n^3-5n^4-5n
Para grandes n, os termos de ordem inferior ( -5 e -5n) tornam-se desprezíveis em relação às potências mais altas. Assim, temos a equivalência assintótica
an sim n^3n^4 = 1n
Isso sugere comparar nossa série com a série harmônica sum 1/n, que é conhecida por divergir.

Passo 3

O teste de comparação na forma de limite diz que, se existir
L = limntoinfty anbn
com 0 < L < infty, então as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência. Aqui escolhemos bn = 1/n.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
L = limntoinfty n^3-5n^4-5n1n = limntoinfty n,(n^3-5)n^4-5n
Dividindo numerador e denominador por n^4, obtemos
L = limntoinfty n^4 - 5nn^4 - 5n = 1
Como 0 < L < infty, nossa série se comporta como a harmônica.

Passo 5

A série harmônica sum 1/n diverge. Pelo teste de comparação por limite, concluímos que
sumn=1^infty n^3-5n^4-5n
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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