Determine a equação do plano tangente à superfície S de equação
x^2+3 y^2+4 z^2=8
em (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e o gradiente, que ajudam a encontrar a inclinação da superfície no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o plano tangente a uma superfície em um ponto específico é o plano que “toca” a superfície nesse ponto e tem a mesma inclinação da superfície lá. Para achar esse plano, a gente precisa calcular o gradiente da função que define a superfície.

Passo 3

A superfície pode ser vista como o conjunto de pontos que satisfazem . O gradiente de , denotado por , nos dá a direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente partial fpartial x = 2x, partial fpartial y = 6y, partial fpartial z = 8z . As derivadas parciais de nabla f = (2x, 6y, 8z) são:
Então,

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(1, 1, 1) = (2 cdot 1, 6 cdot 1, 8 cdot 1) = (2, 6, 8) :
Esse vetor é o vetor normal ao plano tangente que estamos procurando.

Passo 6

A equação geral de um plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde é o vetor normal e é o ponto de tangência.

Passo 7

Substituindo os valores que temos:
2(x - 1) + 6(y - 1) + 8(z - 1) = 0
Vamos desenvolver essa equação para simplificá-la.

Passo 8

Expandindo os termos:
2x - 2 + 6y - 6 + 8z - 8 = 0
Juntando os termos semelhantes:
2x + 6y + 8z - 16 = 0

Resposta

A equação do plano tangente à superfície 2x + 6y + 8z - 16 = 0 no ponto é:

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