Determine a equação do plano tangente à superfície
de equação
em (1, 1, 1).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície
definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e o gradiente, que ajudam a encontrar a inclinação da superfície no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o plano tangente a uma superfície em um ponto específico é o plano que “toca” a superfície nesse ponto e tem a mesma inclinação da superfície lá. Para achar esse plano, a gente precisa calcular o gradiente da função que define a superfície.
Passo 3
A superfície
pode ser vista como o conjunto de pontos
que satisfazem
. O gradiente de
, denotado por
, nos dá a direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente
. As derivadas parciais de
são:
Então,
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é o vetor normal ao plano tangente que estamos procurando.
Passo 6
A equação geral de um plano é dada por:
onde
é o vetor normal e
é o ponto de tangência.
Passo 7
Substituindo os valores que temos:
Vamos desenvolver essa equação para simplificá-la.
Passo 8
Expandindo os termos:
Juntando os termos semelhantes:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: