Determine a equação do plano tangente à superfície esférica de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+8 y-4 z+9=0 no ponto T=(-1,-2,0).
Escolha uma opção:
a. \pi: x-y+z-1=0
b. \pi: x+y+z-5=0
c. \pi: x+y+z+7=0
d. \pi: x-y+z-13=0

Passo 1

O enunciado dá uma superfície esférica de equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+8y-4z+9=0
e pede a equação do plano tangente a essa superfície no ponto T=(-1,-2,0). Para isso, vamos usar o conceito de gradiente: se F(x,y,z)=0 define a superfície, então o vetor normal ao plano tangente em T é \nabla F(T), e a equação do plano é
\nabla F(T)\,\cdot\bigl[(x,y,z)-T\bigr]=0.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+8y-4z+9.
Nesse caso a superfície é o nível zero de F.

Passo 3

Calculamos o gradiente de F:
\nabla F(x,y,z) =\Bigl(\frac{\partial F}{\partial x},\,\frac{\partial F}{\partial y},\,\frac{\partial F}{\partial z}\Bigr) =(2x-2,\;2y+8,\;2z-4).

Passo 4

Avaliamo-lo no ponto T=(-1,-2,0):
\nabla F(-1,-2,0) =(2\cdot(-1)-2,\;2\cdot(-2)+8,\;2\cdot0-4) =(-4,\;4,\;-4).
Esse é um vetor normal ao plano tangente.

Passo 5

Podemos simplificar o normal dividindo por -4, obtendo (1,-1,1). Logo, a equação do plano em forma ponto-normal é
(1,-1,1)\cdot\bigl[(x,y,z)-(-1,-2,0)\bigr]=0.

Passo 6

Desenvolvendo o produto escalar:
1\,(x+1)-1\,(y+2)+1\,(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad x+1 - y -2 + z =0 \quad\Longrightarrow\quad x - y + z -1 =0.

Resposta

a. \pi: x-y+z-1=0

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