Com relação as transformações acima resolva os problemas abaixo :
a) (0.75) Sabendo \mathbf{T} é linear determine \mathbf{T}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}).
b) (0.75) Verificar que \mathbf{S} não é uma transformação linear usando a caracterização : \mathbf{S} \overrightarrow{\mathrm{x}}=\mathbf{A} \cdot \overrightarrow{\mathrm{x}}
c) (0.75) Verificar que \mathbf{S} não é uma transformação linear pela definição .
d) (0.75) Calcular o núcleo de \mathbf{T}: \mathbf{N u c}(\mathbf{T}) :
e) (0.75) Calcular a imagem de \mathbf{T}: \mathbf{I m}(\mathbf{T}).
f) (0.75) Verificar se \mathbf{T} é injetiva .
g) (0.5) Verificar se \mathbf{T} é sobrejetiva .
h) (0.5) Determine \mathbf{T}^{-1}, se existir .
i) (1.0) Determinar uma base para \operatorname{Nuc}(\mathbf{T}) e \operatorname{Im}(\mathbf{T}).
j) (1.0) Determinar [\mathbf{T}]_{\beta}^{\alpha}, \operatorname{com} \alpha=\{(2,0,0),(0,3,0),(0,0,4)\} \mathbf{e}\beta=\{(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1)\}
Passo 1
O enunciado apresenta duas transformações em \mathbb{R}^3:
\mathbf{T} é dita linear e sabemos seus valores em três vetores (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,4).
Para mostrar que não existe matriz \mathbf{A} tal que \mathbf{S}(\mathbf{x})=\mathbf{A}\,\mathbf{x}, basta observar o componente 2 de \mathbf{S}(x,y,z). Se \mathbf{S} fosse linear, haveria números p,q,r tais que
\sqrt[3]{x\,y\,z} = p\,x+q\,y+r\,z
para todo (x,y,z). Mas \sqrt[3]{x\,y\,z} não é função afim em (x,y,z), logo não pode ser escrita como combinação linear dos componentes de (x,y,z).
Passo 4
Pela definição de transformações lineares, precisaríamos ter
A matriz \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&0&-1\\\ 0&1&1\end{pmatrix} tem determinante 1\neq0, logo essas três colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Portanto \mathrm{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^3.
Passo 7
Como \ker(\mathbf{T})=\{0\}, \mathbf{T} é injetiva. Como \mathrm{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^3, \mathbf{T} é sobrejetiva.
Passo 8
Para achar \mathbf{T}^{-1}(u,v,w), resolva
x+y+z=u,\;x-z=v,\;y+z=w.
Da segunda vem x=v+z. Da terceira y=w-z. Na primeira:
(v+z) + (w-z) + z = u \;\Longrightarrow\; v+w+z = u \;\Longrightarrow\; z = u-v-w.
Então
x = v + (u-v-w)=u-w, \quad y = w - (u-v-w)=v+2w-u.
Portanto
\mathbf{T}^{-1}(u,v,w) =(u-w,\;v+2w-u,\;u-v-w).
Passo 9
Bases pedidas:
\ker(\mathbf{T})=\{0\} não tem vetor não-nulo, então sua dimensão é 0 e a base é o conjunto vazio.
\mathrm{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^3, uma base natural é \{(1,1,0),(1,0,1),(1,-1,1)\}.
Passo 10
Na base \alpha=\{(2,0,0),(0,3,0),(0,0,4)\} do domínio e \beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} do contradomínio, as colunas de [\mathbf{T}]_{\beta}^{\alpha} são \mathbf{T}(2,0,0)=(2,2,0), \mathbf{T}(0,3,0)=(3,0,3), \mathbf{T}(0,0,4)=(4,-4,4).
Resposta
a) \displaystyle \mathbf{T}(x,y,z) = \bigl(x+y+z,\;x-z,\;y+z\bigr).
b) Não existe matriz \mathbf{A} com \mathbf{S}(x,y,z)=\mathbf{A}(x,y,z) porque o segundo componente é \sqrt[3]{x\,y\,z}, não uma combinação linear de x,y,z.
c) Tomando u=(1,0,1) e v=(0,1,1), \mathbf{S}(u+v)\neq\mathbf{S}(u)+\mathbf{S}(v), logo \mathbf{S} não é linear.
d) \ker(\mathbf{T})=\{(0,0,0)\}.
e) \mathrm{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^3.
f) \mathbf{T} é injetiva (kernel trivial).
g) \mathbf{T} é sobrejetiva (imagem de dimensão 3).
h) \displaystyle \mathbf{T}^{-1}(u,v,w) = (\,u-w,\;v+2w-u,\;u-v-w\,).
i) Base de \ker(\mathbf{T}): \varnothing.
Base de \mathrm{Im}(\mathbf{T}): \{(1,1,0),(1,0,1),(1,-1,1)\}.
j) \displaystyle [\mathbf{T}]_{\beta}^{\alpha}
=\begin{pmatrix}
2&3&4\\\\ 2&0&-4\\\\ 0&3&4
\end{pmatrix}.