Considere duas transformações, \mathbf{T} e \mathbf{S} :
\mathbf{T}: \quad \mathbb{R}^{3} \quad \longrightarrow \quad \mathbb{R}^{3}
com I) \mathbf{T}(2,0,0)=(2,2,0), II) \mathbf{T}(0,3,0)=(3,0,3) \quad e \quad II) \mathbf{T}(0,0,4)=(4,-4,4)
\begin{array}{lclc} \mathbf{S}: & \mathbb{R}^{3} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{3} \\\ & (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) & \longmapsto & (\mathbf{x}, \sqrt[3]{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \cdot \mathbf{z}}, \mathbf{z}) \end{array}
Com relação as transformações acima resolva os problemas abaixo :
a) (0.75) Sabendo \mathbf{T} é linear determine \mathbf{T}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}).
b) (0.75) Verificar que \mathbf{S} não é uma transformação linear usando a caracterização : \mathbf{S} \overrightarrow{\mathrm{x}}=\mathbf{A} \cdot \overrightarrow{\mathrm{x}}
c) (0.75) Verificar que \mathbf{S} não é uma transformação linear pela definição .
d) (0.75) Calcular o núcleo de \mathbf{T}: \mathbf{N u c}(\mathbf{T}) :
e) (0.75) Calcular a imagem de \mathbf{T}: \mathbf{I m}(\mathbf{T}).
f) (0.75) Verificar se \mathbf{T} é injetiva .
g) (0.5) Verificar se \mathbf{T} é sobrejetiva .
h) (0.5) Determine \mathbf{T}^{-1}, se existir .
i) (1.0) Determinar uma base para \operatorname{Nuc}(\mathbf{T}) e \operatorname{Im}(\mathbf{T}).
j) (1.0) Determinar [\mathbf{T}]_{\beta}^{\alpha}, \operatorname{com} \alpha=\{(2,0,0),(0,3,0),(0,0,4)\} \mathbf{e} \beta=\{(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1)\}

Passo 1

O enunciado apresenta duas transformações em \mathbb{R}^3:
  1. \mathbf{T} é dita linear e sabemos seus valores em três vetores (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,4).
  2. \mathbf{S} é dada por
\mathbf{S}(x,y,z) = \bigl(x,\sqrt[3]{x\,y\,z},z\bigr).
Precisamos determinar:
  • a expressão geral de \mathbf{T},
  • mostrar que \mathbf{S} não é linear (duas maneiras),
  • núcleo, imagem, injetividade, sobrejetividade, inversa de \mathbf{T},
  • bases de núcleo e imagem,
  • e a matriz de \mathbf{T} de uma base \alpha para a base padrão \beta.

Passo 2

Como \mathbf{T} é linear, basta escrever (x,y,z) como combinação de (2,0,0),(0,3,0),(0,0,4).
Defina
a = \frac{x}{2},\quad b = \frac{y}{3},\quad c = \frac{z}{4},
assim
(x,y,z) = a\,(2,0,0)+b\,(0,3,0)+c\,(0,0,4).
Pela linearidade,
\mathbf{T}(x,y,z) = a\,\mathbf{T}(2,0,0) + b\,\mathbf{T}(0,3,0) + c\,\mathbf{T}(0,0,4).
Substituindo \mathbf{T}(2,0,0)=(2,2,0), \mathbf{T}(0,3,0)=(3,0,3), \mathbf{T}(0,0,4)=(4,-4,4) e a,b,c acima, obtemos
\mathbf{T}(x,y,z) = \bigl(x+y+z,\;x-z,\;y+z\bigr).

Passo 3

Para mostrar que não existe matriz \mathbf{A} tal que \mathbf{S}(\mathbf{x})=\mathbf{A}\,\mathbf{x}, basta observar o componente 2 de \mathbf{S}(x,y,z). Se \mathbf{S} fosse linear, haveria números p,q,r tais que
\sqrt[3]{x\,y\,z} = p\,x+q\,y+r\,z
para todo (x,y,z). Mas \sqrt[3]{x\,y\,z} não é função afim em (x,y,z), logo não pode ser escrita como combinação linear dos componentes de (x,y,z).

Passo 4

Pela definição de transformações lineares, precisaríamos ter
\mathbf{S}(u+v) = \mathbf{S}(u)+\mathbf{S}(v).
Escolha u=(1,0,1), v=(0,1,1). Então
u+v=(1,1,2),
\mathbf{S}(u)=(1,0,1),\quad \mathbf{S}(v)=(0,0,1),
logo
\mathbf{S}(u)+\mathbf{S}(v)=(1,0,2),
mas
\mathbf{S}(u+v)=\mathbf{S}(1,1,2) =\bigl(1,\sqrt[3]{1\cdot1\cdot2},2\bigr) =(1,\sqrt[3]{2},2)\neq(1,0,2).
Isso mostra que \mathbf{S} não satisfaz a aditividade e, portanto, não é linear.

Passo 5

O núcleo de \mathbf{T} é
\ker(\mathbf{T}) =\{(x,y,z)\mid \mathbf{T}(x,y,z)=(0,0,0)\}.
Das equações
x+y+z=0,\quad x-z=0,\quad y+z=0
da-se z=x, de y+z=0 vem y=-x, e daí x+(-x)+x= x=0. Logo só a solução trivial (0,0,0).

Passo 6

A imagem de \mathbf{T} é o span de \mathbf{T}(e_1),\mathbf{T}(e_2),\mathbf{T}(e_3), onde e_1=(1,0,0) etc.
\mathbf{T}(1,0,0)=(1,1,0),\; \mathbf{T}(0,1,0)=(1,0,1),\; \mathbf{T}(0,0,1)=(1,-1,1).
A matriz \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&0&-1\\\ 0&1&1\end{pmatrix} tem determinante 1\neq0, logo essas três colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Portanto \mathrm{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^3.

Passo 7

Como \ker(\mathbf{T})=\{0\}, \mathbf{T} é injetiva. Como \mathrm{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^3, \mathbf{T} é sobrejetiva.

Passo 8

Para achar \mathbf{T}^{-1}(u,v,w), resolva
x+y+z=u,\;x-z=v,\;y+z=w.
Da segunda vem x=v+z. Da terceira y=w-z. Na primeira:
(v+z) + (w-z) + z = u \;\Longrightarrow\; v+w+z = u \;\Longrightarrow\; z = u-v-w.
Então
x = v + (u-v-w)=u-w, \quad y = w - (u-v-w)=v+2w-u.
Portanto
\mathbf{T}^{-1}(u,v,w) =(u-w,\;v+2w-u,\;u-v-w).

Passo 9

Bases pedidas:
  • \ker(\mathbf{T})=\{0\} não tem vetor não-nulo, então sua dimensão é 0 e a base é o conjunto vazio.
  • \mathrm{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^3, uma base natural é \{(1,1,0),(1,0,1),(1,-1,1)\}.

Passo 10

Na base \alpha=\{(2,0,0),(0,3,0),(0,0,4)\} do domínio e \beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} do contradomínio, as colunas de [\mathbf{T}]_{\beta}^{\alpha} são \mathbf{T}(2,0,0)=(2,2,0), \mathbf{T}(0,3,0)=(3,0,3), \mathbf{T}(0,0,4)=(4,-4,4).

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{T}(x,y,z) = \bigl(x+y+z,\;x-z,\;y+z\bigr).
b) Não existe matriz \mathbf{A} com \mathbf{S}(x,y,z)=\mathbf{A}(x,y,z) porque o segundo componente é \sqrt[3]{x\,y\,z}, não uma combinação linear de x,y,z.
c) Tomando u=(1,0,1) e v=(0,1,1), \mathbf{S}(u+v)\neq\mathbf{S}(u)+\mathbf{S}(v), logo \mathbf{S} não é linear.
d) \ker(\mathbf{T})=\{(0,0,0)\}.
e) \mathrm{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^3.
f) \mathbf{T} é injetiva (kernel trivial).
g) \mathbf{T} é sobrejetiva (imagem de dimensão 3).
h) \displaystyle \mathbf{T}^{-1}(u,v,w) = (\,u-w,\;v+2w-u,\;u-v-w\,).
i) Base de \ker(\mathbf{T}): \varnothing.
Base de \mathrm{Im}(\mathbf{T}): \{(1,1,0),(1,0,1),(1,-1,1)\}.
j) \displaystyle [\mathbf{T}]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 2&3&4\\\\ 2&0&-4\\\\ 0&3&4 \end{pmatrix}.

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