Questão 3

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Para que valores reais de \lambda a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z=-\lambda-13 representa uma esfera?

Escolha uma opção:

a. \lambda>1
b. \lambda>0
c. \lambda>2
d. \lambda<0
e. \lambda<1
f. \lambda<2

Passo 1

O enunciado pede os valores de \lambda\in\mathbb{R} para os quais a curva
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z=-\lambda-13
é uma esfera. Em geometria analítica, reconhecemos que a equação de uma esfera centrada em (x_{0},y_{0},z_{0}) e raio r é
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = r^{2},
com r^{2}>0. Para adaptar a equação dada, vamos usar completamento de quadrados.

Passo 2

Aplicamos completamento de quadrado a cada variável:
Para x:
x^{2} - 2x = (x-1)^{2} - 1.
Para y:
y^{2} + 4y = (y+2)^{2} - 4.
Para z:
z^{2} - 6z = (z-3)^{2} - 9.
Substituindo na equação original:
(x-1)^{2} - 1 \;+\;(y+2)^{2} - 4\;+\;(z-3)^{2} - 9 \;=\; -\lambda -13.

Passo 3

Agrupando termos constantes à direita:
(x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z-3)^{2} = -\lambda -13 + (1+4+9) = -\lambda +1.
Assim identificamos o centro da esfera em (1,-2,3) e
r^{2} = -\lambda +1.

Passo 4

Para que seja de fato uma esfera, é necessário r^{2}>0. Logo,
-\lambda +1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad -\lambda > -1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda < 1.

Resposta

\lambda<1 (alternativa e).

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