Determine a equação do plano tangente à superficie paramétrica dada no ponto especificado
r(u, v)=(u+v) i+u Cos(v) j+v Sen(u) k, no ponto
(1,1,0).
Resp. Sen(1) x-Sen(1) y-z=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície paramétrica
r(u,v)=(u+v),i+ucos(v),j+vsin(u),k
no ponto (1,1,0).
Conteúdo: para uma superfície parametrizada por u,v, o plano tangente num ponto r(u0,v0) usa os vetores tangentes
ru e rv, cujo produto vetorial fornece a normal ao plano. Então a equação é
ncdotl((x,y,z)-r(u0,v0)r)=0.

Passo 2

Encontrar (u0,v0) tal que
r(u0,v0)=(u0+v0,;u0cos v0,;v0sin u0)=(1,1,0)
Das componentes:
  1. u0+v0=1.
  2. u0cos v0=1.
  3. v0sin u0=0.
    A terceira dá v0=0 (pois sin u0neq0 para u0approx1). Então u0=1 e confere na segunda: 1cdotcos0=1. Logo
    (u0,v0)=(1,0).

Passo 3

Calcular os vetores tangentes:
ru=(partialu(u+v),,partialu(ucos v),,partialu(vsin u)) =(1,cos v,,vcos u),
rv=(partialv(u+v),,partialv(ucos v),,partialv(vsin u)) =(1,,-usin v,,sin u)

Passo 4

Avaliar em (u0,v0)=(1,0):
ru(1,0)=(1,cos0,,0cdotcos1)=(1,1,0), rv(1,0)=(1,,-1cdot0,,sin1)=(1,0,sin1)

Passo 5

Normal ao plano:
n=ru(1,0)timesrv(1,0) =(1,1,0)times(1,0,sin1) =(;1cdotsin1-0cdot0,;0cdot1-1cdotsin1,;1cdot0-1cdot1;),
n=(sin1,,-sin1,,-1)

Passo 6

Equação do plano tangente em (x0,y0,z0)=(1,1,0):
ncdotl((x,y,z)-(1,1,0)r)=0 ;Longrightarrow; sin1,(x-1)-sin1,(y-1)-1,(z-0)=0
Expandindo e simplificando:
sin1,x-sin1-sin1,y+sin1 -z=0 ;Longrightarrow; sin1,x-sin1,y - z=0

Resposta

boxedsin(1),x-sin(1),y - z = 0

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