Determine a equação do plano tangente à superficie paramétrica dada no ponto especificado
r(x, y)=(Cosh(x)-Senh(y)) i+(Cosh(x)+Senh(y)) j+Cosh(x-y) k, para x=1, y=1.
Resp. z-1=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície paramétrica
vec r(x,y)=(cosh(x)-sinh(y)),hatimath+(cosh(x)+sinh(y)),hatjmath+cosh(x-y),hat k
e pede a equação do plano tangente em (x,y)=(1,1).
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais vec rx e vec ry, obter a normal do plano e escrever sua equação.

Passo 2

Em geral, para uma superfície paramétrica vec r(x,y), os vetores
vec rx e vec ry são as direções tangentes, e a normal ao plano tangente é
vec n ;=;vec rxtimesvec ry
A equação do plano tangente em vec r(1,1) é
vec ncdotl(,(x,y,z)-vec r(1,1)r)=0

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
vec rx(x,y) =l(sinh(x),;sinh(x),;sinh(x-y)r),
vec ry(x,y) =l(-cosh(y),;cosh(y),;-sinh(x-y)r)

Passo 4

Em (x,y)=(1,1) temos
vec rx(1,1)=(sinh(1),;sinh(1),;0), vec ry(1,1)=(-cosh(1),;cosh(1),;0)
Como ambas têm componente k igual a zero, o vetor normal é paralelo a hat k e o plano tangente é horizontal.

Passo 5

O ponto na superfície é
vec r(1,1)=l(cosh(1)-sinh(1),;cosh(1)+sinh(1),;cosh(0)r)
e cosh(0)=1. Logo o plano tangente é
z-1=0

Resposta

z-1=0

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