Determine a equação do plano tangente à superficie paramétrica dada no ponto especificado
x=u^2, y=u-v^2, z=v^2, no ponto (1,0,1).
Resp. x-2 y-2 z+1=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície paramétrica
r(u,v) = l(u^2,,u - v^2,,v^2r)
no ponto (1,0,1). O conteúdo é geometria diferencial de superfícies: vamos usar as derivadas parciais para obter dois vetores tangentes e, em seguida, o produto vetorial para achar a normal do plano tangente.

Passo 2

Precisamos encontrar (u0,v0) tal que
u0^2 = 1, u0 - v0^2 = 0, v0^2 = 1
Da primeira e da terceira igualdades vem u0=pm1 e v0=pm1. Substituindo em u0-v0^2=0 u0-1=0, logo u0=1. Assim podemos escolher v0=1 (se escolhermos v0=-1, obtém-se a mesma normal com sinal trocado).

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de r(u,v):
ru(u,v) = l(2u,;1,;0r), rv(u,v) = l(0,;-2v,;2vr)

Passo 4

Avalie em (u0,v0)=(1,1):
ru(1,1) = (2,1,0), rv(1,1) = (0,-2,2)
O vetor normal é
N = ru(1,1)times rv(1,1) = l(2,1,0r)timesl(0,-2,2r) = (2cdot2 - 0cdot(-2),;0cdot0 - 2cdot2,;2cdot(-2) - 1cdot0) = (4,,-4,,-4)

Passo 5

A equação do plano tangente, em forma ponto–normal, é
N cdot l((x,y,z) - (1,0,1)r) = 0
Substituindo N=(4,-4,-4) e o ponto (1,0,1):
4(x-1) -4(y-0) -4(z-1) = 0
iff 4x -4 -4y -4z +4 = 0
iff x -2y -2z +1 = 0

Resposta

x - 2y - 2z + 1 = 0

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