Determine a equação do plano tangente à superficie paramétrica dada no ponto especificado
r(u, v)=u v i+u e^v j+v e^u k, no ponto
(0,0,0).
Resp. x=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície paramétrica
vec r(u,v)=u,v,i+u,e^v,j+v,e^u,k
no ponto (0,0,0). Vamos usar derivadas parciais para obter vetores tangentes, o produto vetorial para o normal e então escrever a equação do plano.

Passo 2

Para achar (u0,v0) tal que vec r(u0,v0)=(0,0,0), resolvemos
u,v=0, u,e^v=0, v,e^u=0
Como e^v>0 e e^u>0, só pode ser u=0 e v=0. Logo (u0,v0)=(0,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de vec r.
A derivada em relação a u é
vec ru(u,v) =l(tfracpartialpartial u(u,v),,tfracpartialpartial u(u,e^v),,tfracpartialpartial u(v,e^u)r) =(v,,e^v,,v,e^u)
A derivada em relação a v é
vec rv(u,v) =(tfracpartialpartial v(u,v),,tfracpartialpartial v(u,e^v),,tfracpartialpartial v(v,e^u)) =(u,,u,e^v,,e^u)

Passo 4

Avaliamo-las em (0,0):
vec ru(0,0)=(0,,1,,0), vec rv(0,0)=(0,,0,,1)
O vetor normal ao plano é
vec n=vec ru(0,0)times vec rv(0,0) =(1,0,0)

Passo 5

A equação do plano com normal vec n=(1,0,0) e que passa por (0,0,0) é
1,(x-0)+0,(y-0)+0,(z-0)=0
ou seja,
x=0

Resposta

x=0

Exercícios relacionados