Questão 2. Calcule o seguinte limite:
lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) cos (1x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede calcular
lim(x,y)to(0,0)l(x^2+y^2r)cos!l(1x^2+y^2r)
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”).

Passo 2

Definimos rho^2=x^2+y^2, de modo que rho>=0. Sabemos que
-1 <= cosl(1rho^2r) <= 1
Multiplicando essa desigualdade por rho^2, que é não negativa, obtemos
-rho^2 <= rho^2cosl(1rho^2r) <= rho^2

Passo 3

Quando (x,y)to(0,0), temos rho^2=x^2+y^2to0. Portanto
-rho^2;longrightarrow;0 e rho^2;longrightarrow;0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
-rho^2<= rho^2cosl(tfrac1rho^2r)<= rho^2
e ambos os limites das pontas são zero, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)l(x^2+y^2r)cos!l(1x^2+y^2r)=0

Resposta

0

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