O objetivo desse exercício é mostrar que lim raiz[n]n=1.
a) Verifique que log (raiz[n]n)=log (n)n.
b) Usando o item anterior, verifique que raiz[n]n=exp (log (n)n).
c) Usando o item anterior, mostre que lim raiz[n]n=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limntoinftyraiz[n]n=1
O conteúdo envolvido é o uso das propriedades do logaritmo e da exponencial, além do fato de que exp é contínua e de que log(n) cresce mais devagar que n. Vamos precisar de
1. log(a^b)=b,log(a).
2. As funções exp e log são inversas.
3. Saber que
limntoinftylog(n)n=0

Passo 2

Mostramos primeiro que
logl(raiz[n]nr)=logl(n^1/nr)
Pela propriedade do logaritmo temos
logl(n^1/nr)=1n,log(n),
ou seja,
logl(raiz[n]nr)=log(n)n

Passo 3

Aplicando a função inversa exp em ambos os lados da igualdade do passo anterior, obtemos
raiz[n]n =exp!l(logl(raiz[n]nr)r) =exp!l(log(n)nr)

Passo 4

Sabemos que
limntoinftylog(n)n=0
(por exemplo via o critério de L’Hôpital em f(x)=log(x)/x). Como exp é contínua,
limntoinftyraiz[n]n =limntoinftyexp!l(log(n)nr) =exp(0) =1

Resposta

limntoinftyraiz[n]n=1

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