O objetivo desse exercício é mostrar que lim n!n^n=0.
a) Verifique que
n!n^n=nn n-1n n-2n cdots 3n 2n 1n
b) Usando o item anterior, mostre que 0<n!n^n <= 1n.
c) Usando o item anterior, mostre que lim n!n^n=0.

Passo 1

O enunciado trata da sequência an = n!n^n e quer mostrar que limntoinftyan=0. Vamos usar três ideias principais: fatorar o fatorial em produto de frações; estimar esse produto por uma desigualdade simples; aplicar o Teorema do Confronto (ou Sanduíche).

Passo 2

Queremos verificar que
n!n^n =ncdot(n-1)cdot(n-2)cdots2cdot1underbracencdot ncdot ncdots nn vezes =nn,n-1n,n-2ncdots2n,1n
Basta escrever cada fator de n! dividido por n.

Passo 3

Note que, para cada k com 1<= k<= n, temos kn<=1. Em particular todos os fatores exceto 1n são no máximo 1, e 1n<=1n. Logo,
0<n!n^n =nn,n-1ncdots1n <= 1cdot1cdots1cdot1n =1n

Passo 4

Como 0<n!n^n<=1n e sabemos que limntoinfty1n=0, pelo Teorema do Confronto segue que
limntoinftyn!n^n=0

Resposta

limntoinftyn!n^n=0

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