O objetivo desse exercício é mostrar que .
a) Verifique que
b) Usando o item anterior, mostre que .
c) Usando o item anterior, mostre que .
Passo 1
O enunciado trata da sequência e quer mostrar que . Vamos usar três ideias principais: fatorar o fatorial em produto de frações; estimar esse produto por uma desigualdade simples; aplicar o Teorema do Confronto (ou Sanduíche).
Passo 2
Queremos verificar que
Basta escrever cada fator de n! dividido por n.
Passo 3
Note que, para cada k com 1<= k<= n, temos kn<=1. Em particular todos os fatores exceto 1n são no máximo 1, e 1n<=1n. Logo,
0<n!n^n =nn,n-1ncdots1n <= 1cdot1cdots1cdot1n =1n
Passo 4
Como 0<n!n^n<=1n e sabemos que limntoinfty1n=0, pelo Teorema do Confronto segue que