Encontre uma parametrização para as seguintes superfícies.
A metade superior do elipsoide 2 x+4 y^2+8 z^2=4

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da metade superior (ou seja, onde z>=0) do elipsoide dado por 2x^2 + 4y^2 + 8z^2 = 4. O conteúdo aqui é o uso de coordenadas esféricas adaptadas para ellipsoides.

Passo 2

Para escrever no formato padrão de um ellipsoide, dividimos ambos os lados da equação por 4:
2x^24 + 4y^24 + 8z^24 = 1 Longrightarrow x^22 + y^21 + z^21/2 = 1 Dessa forma reconhecemos os semi-eixos
a = raiz2, b = 1, c = 1raiz2

Passo 3

A parametrização geral de um ellipsoide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 em termos de dois parâmetros (u,v) é
x = asin vcos u, y = bsin vsin u, z = ccos v Como queremos apenas a metade superior, impomos z>=0, o que equivale a vin[0,pi/2], e escolhemos uin[0,2pi].

Resposta

Uma parametrização conveniente é
r(u,v) = l(raiz2,sin v,cos u,;sin v,sin u,;tfrac1raiz2,cos vr),
com uin[0,2pi] e vin[0,tfracpi2].

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