Use a derivação implícita para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
e^z=x^2+2 y^2+3 z^2+7.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação implícita $ e^{z} = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} + 7 $ e precisamos encontrar as derivadas parciais e^z = x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 + 7 e partial zpartial x. Isso envolve o uso da derivação implícita, que é útil quando partial zpartial y é uma função de z e x, mas não está isolada na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como uma constante. Lembre-se de que quando derivamos uma função que depende de z, que por sua vez depende de x, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
ddx e^z = e^z cdot partial zpartial x
Derivando o lado direito:
ddx (x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 + 7) = 2x + 0 + 6z cdot partial zpartial x + 0
(O termo 2 y^2 e 7 são constantes em relação a x, então suas derivadas são zero.)

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
e^z cdot partial zpartial x = 2x + 6z cdot partial zpartial x
Queremos isolar partial zpartial x:
e^z cdot partial zpartial x - 6z cdot partial zpartial x = 2x
partial zpartial x (e^z - 6z) = 2x
partial zpartial x = 2xe^z - 6z

Passo 4

Agora, vamos derivar a equação original em relação a y, tratando x como uma constante.
Derivando o lado esquerdo:
ddy e^z = e^z cdot partial zpartial y
Derivando o lado direito:
ddy (x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 + 7) = 0 + 4y + 6z cdot partial zpartial y + 0
(O termo x^2 e 7 são constantes em relação a y, então suas derivadas são zero.)

Passo 5

Igualamos as derivadas dos dois lados:
e^z cdot partial zpartial y = 4y + 6z cdot partial zpartial y
Isolamos partial zpartial y:
e^z cdot partial zpartial y - 6z cdot partial zpartial y = 4y
partial zpartial y (e^z - 6z) = 4y
partial zpartial y = 4ye^z - 6z

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2xe^z - 6z e partial zpartial y = 4ye^z - 6z

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