Use a derivação implícita para encontrar
e
.
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação implícita $ e^{z} = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} + 7 $ e precisamos encontrar as derivadas parciais
e
. Isso envolve o uso da derivação implícita, que é útil quando
é uma função de
e
, mas não está isolada na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma constante. Lembre-se de que quando derivamos uma função que depende de
, que por sua vez depende de
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
(O termo
e 7 são constantes em relação a
, então suas derivadas são zero.)
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos isolar
:
Passo 4
Agora, vamos derivar a equação original em relação a
, tratando
como uma constante.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
(O termo
e 7 são constantes em relação a
, então suas derivadas são zero.)
Passo 5
Igualamos as derivadas dos dois lados:
Isolamos
:
Resposta
As derivadas parciais são: