Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado
z=3 cdot(x-1)^2+2 cdot(y+3)^2+7 (2,-2,72)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado . Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais para encontrar o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente a uma superfície z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) no ponto . A fórmula é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = 6(x - 1) .
Primeiro, a derivada em relação a fy = partial fpartial y = 4(y + 3) :
Agora, a derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto fx(2, -2) = 6(2 - 1) = 6 cdot 1 = 6 :
Para fy(2, -2) = 4(-2 + 3) = 4 cdot 1 = 4 :
Para :

Passo 5

Com as derivadas avaliadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada no Passo 2:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z - 72 = 6(x - 2) + 4(y + 2)

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão:
z - 72 = 6x - 12 + 4y + 8
z - 72 = 6x + 4y - 4
z = 6x + 4y - 4 + 72
z = 6x + 4y + 68

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto z = 6x + 4y + 68 é:

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