Monte a integral para calcular o volume do sólido E :
E é um cilindro circular reto cuja base é a circunferência r=2 cos theta no plano x y e cujo topo está no plano z=4-y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para montar uma integral que calcule o volume de um sólido chamado E. Esse sólido é um cilindro circular reto com a base definida pela circunferência r = 2 cos theta no plano xy. Além disso, o topo desse cilindro está no plano z = 4 - y. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e integração múltipla para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a base do cilindro. A equação r = 2 cos theta descreve uma circunferência no plano xy. Em coordenadas polares, r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo com o eixo positivo x. Essa equação representa uma circunferência com raio 1, deslocada 1 unidade ao longo do eixo x. Então, os limites para r serão de 0 a 2 cos theta, e para theta, de -pi2 a pi2, porque 2 cos theta é positivo nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o topo do cilindro, que está no plano z = 4 - y. Como estamos usando coordenadas polares, precisamos expressar y em termos de r e theta. Sabemos que y = r sin theta. Então, o limite superior para z será z = 4 - r sin theta. O limite inferior para z é o plano xy, que é z = 0.

Passo 4

Com isso, podemos montar a integral para o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é r , dr , dtheta. Então, a integral tripla para o volume V será:
V = integraltheta = -pi2^pi2 integralr = 0^2 cos theta integralz = 0^4 - r sin theta r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar um pouco. Primeiro, integramos em relação a z, que vai de 0 a 4 - r sin theta. Então, a integral fica:
V = integral-pi2^pi2 integral0^2 cos theta (4 - r sin theta) r , dr , dtheta

Resposta

A integral que calcula o volume do sólido E é:
V = integral-pi2^pi2 integral0^2 cos theta (4 - r sin theta) r , dr , dtheta

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