Monte a integral para calcular o volume do sólido
:
é um cilindro circular reto cuja base é a circunferência
no plano
e cujo topo está no plano
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para montar uma integral que calcule o volume de um sólido chamado
. Esse sólido é um cilindro circular reto com a base definida pela circunferência
no plano
. Além disso, o topo desse cilindro está no plano
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e integração múltipla para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a base do cilindro. A equação
descreve uma circunferência no plano
. Em coordenadas polares,
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo com o eixo positivo
. Essa equação representa uma circunferência com raio 1, deslocada 1 unidade ao longo do eixo
. Então, os limites para
serão de 0 a
, e para
, de
a
, porque
é positivo nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o topo do cilindro, que está no plano
. Como estamos usando coordenadas polares, precisamos expressar
em termos de
e
. Sabemos que
. Então, o limite superior para
será
. O limite inferior para
é o plano
, que é
.
Passo 4
Com isso, podemos montar a integral para o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é
. Então, a integral tripla para o volume
será:
Passo 5
Vamos simplificar um pouco. Primeiro, integramos em relação a
, que vai de 0 a
. Então, a integral fica:
Resposta
A integral que calcula o volume do sólido
é: