Use a Regra da cadeia para encontrar frac{\partial z}{\partial s} e frac{\partial z}{\partial t}.
z=t g^{-1}\left(x^{2}+y^{2}\right), x=\operatorname{sln}(t), y=t e^{s}.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a Regra da Cadeia em
z = t\,g^{-1}\bigl(x^2 + y^2\bigr),
com
x = s\ln(t), \qquad y = t e^s.
O conteúdo principal é derivação de função composta e derivada de função inversa. Vamos declarar
r = x^2 + y^2, \qquad u = g^{-1}(r),
de modo que
z = t\,u.

Passo 2

Calcular \partial z/\partial s exige aplicar primeiro produto t\cdot u e depois cadeia em u=g^{-1}(r). Escrevemos
\frac{\partial z}{\partial s} = t\,\frac{d}{dr}\bigl(g^{-1}(r)\bigr)\,\frac{\partial r}{\partial s}.
Aqui \bigl(g^{-1}\bigr)'(r) denota \frac{d}{dr}g^{-1}(r).

Passo 3

Computar \partial r/\partial s. Como r = x^2 + y^2, tem-se
\frac{\partial r}{\partial s} = 2x\,\frac{\partial x}{\partial s} + 2y\,\frac{\partial y}{\partial s}.
Mas \partial x/\partial s = \ln(t) e \partial y/\partial s = t e^s. Logo
\frac{\partial r}{\partial s} = 2x\ln(t) + 2y\,t e^s.

Passo 4

Substituindo em \partial z/\partial s:
\frac{\partial z}{\partial s} = t\;\bigl(g^{-1}\bigr)'(r)\,\bigl(2x\ln(t) + 2y\,t e^s\bigr),
sendo x = s\ln(t), y = t e^s e r = x^2 + y^2.

Passo 5

Agora \partial z/\partial t. Usamos produto e cadeia:
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(t\cdot u\bigr) = u + t\,\frac{d}{dr}\bigl(g^{-1}(r)\bigr)\,\frac{\partial r}{\partial t}.

Passo 6

Calcular \partial r/\partial t. Com r=x^2+y^2,
\frac{\partial r}{\partial t} = 2x\,\frac{\partial x}{\partial t} + 2y\,\frac{\partial y}{\partial t}.
Como \partial x/\partial t = s/t e \partial y/\partial t = e^s, segue
\frac{\partial r}{\partial t} = 2x\frac{s}{t} + 2y\,e^s.

Passo 7

Substituindo em \partial z/\partial t:
\frac{\partial z}{\partial t} = g^{-1}(r) + t\;\bigl(g^{-1}\bigr)'(r)\,\Bigl(2x\frac{s}{t} + 2y\,e^s\Bigr),
onde novamente x = s\ln(t), y = t e^s e r = x^2 + y^2.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial s} = t\,\bigl(g^{-1}\bigr)'(x^2+y^2)\,\bigl(2x\ln(t) + 2y\,t e^s\bigr),
\frac{\partial z}{\partial t} = g^{-1}(x^2+y^2) + t\,\bigl(g^{-1}\bigr)'(x^2+y^2)\,\Bigl(2x\frac{s}{t} + 2y\,e^s\Bigr),
com x = s\ln(t), y = t e^s.

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