Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado
x^3+y^3+z^3=x y+x z+y z, P=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação do plano tangente à superfície definida implicitamente por x^3 + y^3 + z^3 = x y + x z + y z no ponto P=(1,1,1). O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente de funções implícitas e equação de plano tangente.

Passo 2

Definimos a função implícita da superfície:
F(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 - (x y + x z + y z)
De modo que a superfície é dada por F(x,y,z)=0.

Passo 3

Calculamos o gradiente de F, que fornece o vetor normal à superfície:
nabla F = l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr)
Para nossa função, as derivadas parciais são:
partial Fpartial x = 3x^2 - (y+z), partial Fpartial y = 3y^2 - (x+z), partial Fpartial z = 3z^2 - (x+y)

Passo 4

Avaliamos o gradiente no ponto P=(1,1,1):
nabla F(1,1,1) = (3cdot1^2 - 2,;3cdot1^2 - 2,;3cdot1^2 - 2) = (1,1,1)

Passo 5

A equação do plano tangente a uma superfície implícita é dada por
nabla F(P) cdot l((x,y,z)-(x0,y0,z0)r) = 0
Substituindo nabla F(1,1,1) = (1,1,1) e (x0,y0,z0)=(1,1,1), obtemos
(x-1)+(y-1)+(z-1)=0,
que, ao simplificarmos, resulta em
x + y + z = 3

Resposta

x + y + z = 3

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