Quando estudamos uma série de potência nosso foco inicial é determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência. Fora desse intervalo, a série diverge, e na fronteira do raio, o comportamento da série pode variar dependendo dos coeficientes . Técnicas como o teste da razão e o teste da raiz são frequentemente utilizadas para determinar esse raio de convergência. Considere a série de potência
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de potência, que é uma soma infinita envolvendo termos com potências de . O objetivo aqui é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas como o teste da razão ou o teste da raiz, que ajudam a determinar até onde a série “funciona” (ou seja, converge).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que temos:
Aqui, o termo geral da série é . Para encontrar o raio de convergência, vamos utilizar o teste da raiz, que é bastante útil quando temos potências com no expoente.
Passo 3
O teste da raiz nos diz que para a série , calculamos:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então:
Simplificando:
|n-13n| = n-13n = 1 - 1n3
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 1 - 1n3 = 1 - 03 = 13
Então, o limite L fica:
L = 13 cdot |x+1|
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
13 cdot |x+1| < 1
Multiplicando ambos os lados por 3:
|x+1| < 3
Passo 5
A inequação |x+1| < 3 nos dá o raio de convergênciaR = 3. Para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade:
-3 < x + 1 < 3
Subtraindo 1 de todos os lados:
-4 < x < 2
Então, o intervalo de convergência é -4 < x < 2.
Obs: Para ter certeza completa, precisaríamos verificar o comportamento da série nos pontos finais x = -4 e x = 2. Contudo, com base no teste da raiz, sabemos que a série não converge nessas bordas, então o intervalo de convergência é estritamente aberto.
Resposta
O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é -4 < x < 2.