Quando estudamos uma série de potência nosso foco inicial é determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência. Fora desse intervalo, a série diverge, e na fronteira do raio, o comportamento da série pode variar dependendo dos coeficientes an. Técnicas como o teste da razão e o teste da raiz são frequentemente utilizadas para determinar esse raio de convergência. Considere a série de potência
sumn=1^infty(n-13 n)^n(x+1)^n
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de potência, que é uma soma infinita envolvendo termos com potências de (x+1). O objetivo aqui é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas como o teste da razão ou o teste da raiz, que ajudam a determinar até onde a série “funciona” (ou seja, converge).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos:
sumn=1^infty(n-13n)^n(x+1)^n
Aqui, o termo geral da série é (n-13n)^n(x+1)^n. Para encontrar o raio de convergência, vamos utilizar o teste da raiz, que é bastante útil quando temos potências com n no expoente.

Passo 3

O teste da raiz nos diz que para a série sum an, calculamos:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, an = (n-13n)^n(x+1)^n, então:
raiz[n]|an| = raiz[n]|(n-13n)^n(x+1)^n| = |n-13n| cdot |x+1|
Simplificando:
|n-13n| = n-13n = 1 - 1n3

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 1 - 1n3 = 1 - 03 = 13
Então, o limite L fica:
L = 13 cdot |x+1|
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
13 cdot |x+1| < 1
Multiplicando ambos os lados por 3:
|x+1| < 3

Passo 5

A inequação |x+1| < 3 nos dá o raio de convergência R = 3. Para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade:
-3 < x + 1 < 3
Subtraindo 1 de todos os lados:
-4 < x < 2
Então, o intervalo de convergência é -4 < x < 2.
Obs: Para ter certeza completa, precisaríamos verificar o comportamento da série nos pontos finais x = -4 e x = 2. Contudo, com base no teste da raiz, sabemos que a série não converge nessas bordas, então o intervalo de convergência é estritamente aberto.

Resposta

O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é -4 < x < 2.

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