Expresse partial wpartial t como função de t onde
w=2 x y+x^2+y^2, x=t^2, y=t+1
de duas maneiras:
(a) Por substituição direta, expressando w em termos de t.
(b) Usando a Regra da Cadeia.

Passo 1

Neste exercício, queremos achar partial wpartial t para a função w=2xy+x^2+y^2 onde x=t^2 e y=t+1. Vamos usar dois caminhos: (a) substituição direta expressando w em termos de t e (b) a regra da cadeia.

Passo 2

Por substituição direta, primeiro reescrevemos w como função de t:
w(t)=2,x,y + x^2 + y^2 = 2,t^2(t+1) + (t^2)^2 + (t+1)^2
Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
w(t)=2t^3+2t^2 + t^4 + t^2 + 2t +1 = t^4 + 2t^3 + 3t^2 + 2t +1
Em seguida, derivamos essa expressão em relação a t:
d wd t = 4t^3 + 6t^2 + 6t + 2

Passo 3

Pela regra da cadeia, usamos
partial wpartial t = partial wpartial xdxdt + partial wpartial ydydt
Calculamos as parciais de w:
partial wpartial x = 2y + 2x, partial wpartial y = 2x + 2y
E as derivadas de x e y:
dxdt = 2t, dydt = 1

Passo 4

Agora substituímos tudo na fórmula da cadeia:
partial wpartial t = (2y+2x)cdot 2t + (2x+2y)cdot1 = 2t(2x+2y) + 2x+2y
Fatorando 2x+2y e inserindo x=t^2, y=t+1:
partial wpartial t = (4t+2)(t^2+t+1) = 4t^3+6t^2+6t+2,
igual ao resultado pelo método de substituição direta.

Resposta

partial wpartial t = 4t^3 + 6t^2 + 6t + 2

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