Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto P especificado.
z=x sen(x+y), P=(-1,0,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = x sen(x+y)
no ponto P = (-1,0,0). O conteúdo envolvido é derivadas parciais e o conceito de plano tangente a uma superfície dada por z = f(x,y). Para resolver, vamos precisar calcular partial fpartial x e partial fpartial y e depois usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=xsen(x+y). Usando regra do produto e cadeia:
partial fpartial x = sen(x+y) + xcos(x+y)cdot 1 = sen(x+y) + xcos(x+y),
partial fpartial y = xcos(x+y)cdot 1 = xcos(x+y)

Passo 3

Avalie essas derivadas em (x0,y0)=(-1,0). Note que x0+y0=-1, sen(-1)=-sen(1) e cos(-1)=cos(1). Então
partial fpartial x|(-1,0) = sen(-1) + (-1)cos(-1) = -sen(1) - cos(1),
partial fpartial y|(-1,0) = -1cdotcos(-1) = -cos(1)

Passo 4

A fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo x0=-1, y0=0, z0=0 e os valores de fx e fy, vem
z = l(-sen(1) - cos(1)r),(x + 1) + l(-cos(1)r),y

Resposta

z = -l(sen(1)+cos(1)r),(x+1);-;cos(1),y

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