Se a função , onde , mostre que

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x1,dots,xn) = e^a1x1 + a2x2 + cdots + anxn
com a condição
a1^2 + a2^2 + cdots + an^2 = 1
Ele pede para mostrar que a soma das segundas derivadas parciais é zero, ou seja,
partial^2upartial x1^2 + cdots + partial^2upartial xn^2 = 0
O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais sucessivas e reconhecimento de um possível equacionamento de Laplace.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial primeira em relação a xi. Como
u = e^a1x1 + cdots + anxn,
temos por regra da cadeia
partial upartial xi = ai,e^a1x1 + cdots + anxn = ai,u

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a xi para obter a segunda derivada:
partial^2upartial xi^2 = partialpartial xil(ai,ur) = ai,partial upartial xi = ai,(ai,u) = ai^2,u

Passo 4

Somando as segundas derivadas de i=1 até i=n, obtemos
sumi=1^npartial^2upartial xi^2 = sumi=1^nai^2,u = l(sumi=1^nai^2r),u
Pela hipótese do enunciado, sumi=1^nai^2=1. Logo
sumi=1^npartial^2upartial xi^2 = 1 cdot u = u

Passo 5

Concluímos que
partial^2upartial x1^2 + cdots + partial^2upartial xn^2 = u,
e não 0. Portanto, a igualdade
partial^2upartial x1^2 + cdots + partial^2upartial xn^2 = 0
é falsa para a função dada — o resultado correto é
partial^2upartial x1^2 + cdots + partial^2upartial xn^2 = u

Resposta

Não existe função da forma u=e^a1x1+cdots+anxn com sum ai^2=1 que satisfaça
partial^2upartial x1^2+cdots+partial^2upartial xn^2=0
Em vez disso, obtém-se
partial^2upartial x1^2+cdots+partial^2upartial xn^2=uneq0,
logo há um equívoco no enunciado original.

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