Se a função
, onde
, mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com a condição
Ele pede para mostrar que a soma das segundas derivadas parciais é zero, ou seja,
O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais sucessivas e reconhecimento de um possível equacionamento de Laplace.
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial primeira em relação a
. Como
temos por regra da cadeia
Passo 3
Agora derivamos novamente em relação a
para obter a segunda derivada:
Passo 4
Somando as segundas derivadas de
até
, obtemos
Pela hipótese do enunciado,
. Logo
Passo 5
Concluímos que
e não
. Portanto, a igualdade
é falsa para a função dada — o resultado correto é
Resposta
Não existe função da forma
com
que satisfaça
Em vez disso, obtém-se
logo há um equívoco no enunciado original.