Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
integral0^infty xx^3+1 d x, integral0^pi sen^2 xraizx d x integral1^infty 1+sen^2 xraizx d x, integral0^1 sec ^2 xx raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas quatro integrais usando o Teorema da Comparação. Esse teorema ajuda a gente a determinar se uma integral é convergente (ou seja, se tem um valor finito) ou divergente (não tem um valor finito). Para isso, vamos comparar as integrais dadas com outras integrais que já sabemos se convergem ou divergem. Vamos precisar conhecer funções que sejam mais fáceis de integrar e que sejam maiores ou menores que as funções das integrais que queremos analisar.

Passo 2

Primeira Integral: integral0^infty xx^3+1 , dx
Resumo: Precisamos ver se essa integral converge ou diverge usando comparação.
Resolução: Para valores grandes de x, o termo x^3 domina o denominador, então podemos aproximar xx^3 + 1 approx xx^3 = 1x^2.
Sabemos que integral1^infty 1x^2 , dx converge (valor igual a 1).
Como xx^3 + 1 <= 1x^2 para x >= 1, pela comparação, a integral original também converge.

Passo 3

Segunda Integral: integral0^pi sin^2 xraizx , dx
Resumo: Vamos analisar a convergência dessa integral no intervalo de 0 a pi.
Resolução: Nos pontos onde x se aproxima de 0, sin x approx x, então sin^2 x approx x^2. A função fica aproximadamente x^2raizx = x^1.5.
A integral integral0^1 x^1.5 , dx converge (valor igual a 25).
Como sin^2 xraizx <= x^2raizx = x^1.5 próximo de 0, e a função é contínua no resto do intervalo, a integral original converge.

Passo 4

Terceira Integral: integral1^infty 1 + sin^2 xraizx , dx
Resumo: Vamos verificar se essa integral converge ou diverge para x indo ao infinito.
Resolução: A função sin^2 x é sempre menor ou igual a 1, então 1 + sin^2 x <= 2. Logo, 1 + sin^2 xraizx <= 2raizx.
Sabemos que integral1^infty 1raizx , dx diverge (é igual a infinito).
Como a função comparada é maior ou igual a uma integral divergente, pelo Teorema da Comparação, a integral original também diverge.

Passo 5

Quarta Integral: integral0^1 sec^2 xx raizx , dx
Resumo: Vamos analisar a convergência dessa integral no intervalo de 0 a 1.
Resolução: Perto de x = 0, sabemos que sec^2 x = 1/cos^2 x approx 1 (já que cos 0 = 1).
Então, a função se comporta aproximadamente como 1x raizx = 1x^1.5.
A integral integral0^1 1x^1.5 , dx diverge (é igual a infinito).
Como sec^2 xx raizx >= 1x^1.5 perto de 0, pela comparação, a integral original também diverge.

Resposta

  1. integral0^infty xx^3+1 , dx Converge.
  2. integral0^pi sin^2 xraizx , dx Converge.
  3. integral1^infty 1 + sin^2 xraizx , dx Diverge.
  4. integral0^1 sec^2 xx raizx , dx Diverge.

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