Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas quatro integrais usando o Teorema da Comparação. Esse teorema ajuda a gente a determinar se uma integral é convergente (ou seja, se tem um valor finito) ou divergente (não tem um valor finito). Para isso, vamos comparar as integrais dadas com outras integrais que já sabemos se convergem ou divergem. Vamos precisar conhecer funções que sejam mais fáceis de integrar e que sejam maiores ou menores que as funções das integrais que queremos analisar.
Passo 2
Primeira Integral:
Resumo: Precisamos ver se essa integral converge ou diverge usando comparação.
Resolução: Para valores grandes de
, o termo
domina o denominador, então podemos aproximar
.
Sabemos que
converge (valor igual a 1).
Como
para
, pela comparação, a integral original também converge.
Passo 3
Segunda Integral:
Resumo: Vamos analisar a convergência dessa integral no intervalo de 0 a
.
Resolução: Nos pontos onde
se aproxima de 0,
, então
. A função fica aproximadamente
.
A integral
converge (valor igual a
).
Como
próximo de 0, e a função é contínua no resto do intervalo, a integral original converge.
Passo 4
Terceira Integral:
Resumo: Vamos verificar se essa integral converge ou diverge para
indo ao infinito.
Resolução: A função
é sempre menor ou igual a 1, então
. Logo,
.
Sabemos que
diverge (é igual a infinito).
Como a função comparada é maior ou igual a uma integral divergente, pelo Teorema da Comparação, a integral original também diverge.
Passo 5
Quarta Integral:
Resumo: Vamos analisar a convergência dessa integral no intervalo de 0 a 1.
Resolução: Perto de
, sabemos que
(já que
).
Então, a função se comporta aproximadamente como
.
A integral
diverge (é igual a infinito).
Como
perto de 0, pela comparação, a integral original também diverge.
Resposta
-
Converge. -
Converge. -
Diverge. -
Diverge.