Calcule a integral de superfície , onde é a superfície com equações paramétricas .(R: )
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O exercício pede para calcular a integral , onde a superfície é definida por equações paramétricas. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície e parametrização de superfícies. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e usar a fórmula da integral de superfície para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações paramétricas da superfície :
com e . Aqui, e são os parâmetros que variam dentro desses intervalos para gerar todos os pontos na superfície .
Passo 3
Para calcular a integral de superfície , precisamos usar a fórmula da integral de superfície para parametrizações:
onde é a parametrização da superfície, e é o produto vetorial dos vetores derivadas parciais, que nos dá uma medida da área infinitesimal .
Passo 4
Vamos encontrar os vetores derivadas parciais e :
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial :
= i ( sin v cdot (-u sin v) - cos v cdot u cos v ) - j ( 2u cdot (-u sin v) - cos v cdot 0 ) + k ( 2u cdot u cos v - sin v cdot 0 )
= i ( -u sin^2 v - u cos^2 v ) - j ( -2u^2 sin v ) + k ( 2u^2 cos v )
= -u (sin^2 v + cos^2 v) i + 2u^2 sin v j + 2u^2 cos v k
Como sin^2 v + cos^2 v = 1 , simplificamos para:
= -u i + 2u^2 sin v j + 2u^2 cos v k
Passo 6
Agora, calculamos a magnitude desse vetor para encontrar | ru times rv | :
| ru times rv | = raiz(-u)^2 + (2u^2 sin v)^2 + (2u^2 cos v)^2