Determine uma equação para o plano que é tangente à superfície
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano que é tangente à superfície
no ponto
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar a inclinação da superfície nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação da superfície mais fácil de trabalhar. A equação dada é
. Vamos isolar o
:
Agora, temos a superfície escrita como
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções
e
, que são essenciais para determinar o plano tangente.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Esses valores nos dão as inclinações nas direções
e
no ponto
.
Passo 5
Com as derivadas encontradas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Onde
é o ponto de tangência, que no caso é
. Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Rearranjando para a forma
:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: