Determine uma equação para o plano que é tangente à superfície -2 x^2+y^2=-z2, no ponto P(-1,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano que é tangente à superfície no ponto . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar a inclinação da superfície nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação da superfície mais fácil de trabalhar. A equação dada é -2x^2 + y^2 = -z2 implies z = 2(2x^2 - y^2) implies z = 4x^2 - 2y^2 . Vamos isolar o :
Agora, temos a superfície escrita como .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a fx = partial zpartial x = 8x e fy = partial zpartial y = -4y . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções e , que são essenciais para determinar o plano tangente.
Calculando as derivadas:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto fx(-1, 1) = 8(-1) = -8 :
fy(-1, 1) = -4(1) = -4
Esses valores nos dão as inclinações nas direções e no ponto .

Passo 5

Com as derivadas encontradas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
z = z0 + fx(x - x0) + fy(y - y0)
Onde z = 2 + (-8)(x - (-1)) + (-4)(y - 1) é o ponto de tangência, que no caso é z = 2 - 8(x + 1) - 4(y - 1) . Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
z = 2 - 8x - 8 - 4y + 4
z = -8x -4y -2
Rearranjando para a forma 8x + 4y + z + 2 = 0 :

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto 8x + 4y + z + 2 = 0 é:

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