Resolva cada PVI dado.
Observação: A ED dada é separável. A solução pode ser uma função implícita.
Observação: A ED dada é separável. A solução pode ser uma função implícita.
Passo 1
A EDO é separável e o enunciado pede a solução do PVI: ,$ (e{x}+e{-x}),\frac{dy}{dx}=y^{2},,y(0)=1$. Vamos separar variáveis e integrar.
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
de um lado e
do outro:
Passo 3
Integre os dois lados. No lado esquerdo usamos
. No direito escrevemos
Fazendo a substituição
, obtemos
. Assim temos
Passo 4
Use a condição inicial
. Substituindo
e
dá
Passo 5
Substitua
de volta e isole
:
$$-\frac{1}{y}=\arctan(e^{x})-1-\frac{\pi}{4}
y=\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}-\arctan(e^{x})}.
$$