Resolva cada PVI dado.
Observação: A ED dada é separável. A solução pode ser uma função implícita.
(e^x+e^-x) d yd x=y^2, y(0)=1

Passo 1

A EDO é separável e o enunciado pede a solução do PVI: ,$ (e{x}+e{-x}),\frac{dy}{dx}=y^{2},,y(0)=1$. Vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo dy/y^2 de um lado e dx/(e^x+e^-x) do outro: dyy^2=dxe^x+e^-x

Passo 3

Integre os dois lados. No lado esquerdo usamos integral y^-2dy=-1/y. No direito escrevemos
integraldxe^x+e^-x=integrale^xdxe^2x+1
Fazendo a substituição u=e^x,du=e^xdx, obtemos integral du/(u^2+1)=arctan(u)=arctan(e^x). Assim temos
-1y=arctan(e^x)+C

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1
-1=arctan(e^0)+C=pi4+Cimplies C=-1-pi4

Passo 5

Substitua C de volta e isole y:
$$-\frac{1}{y}=\arctan(e^{x})-1-\frac{\pi}{4}
-1y=arctan(e^x)-1-pi4
y=\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}-\arctan(e^{x})}.
$$

Resposta

y=dfrac11+tfracpi4-arctan(e^x)

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