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De pelo menos quatro curvas de nível da função
De pelo menos quatro curvas de nível da função
Passo 1
O enunciado pede para desenhar pelo menos quatro curvas de nível da função f(x,y)=−x²+y, ou seja, as interseções do gráfico de f com planos horizontais z=k. Vamos usar o conceito de curvas de nível para superfícies e aplicar aqui.
Passo 2
Uma curva de nível é definida por f(x,y)=k, onde k é constante. No nosso caso temos:
Daí isolamos y:
Isso mostra que cada curva de nível é uma parábola no plano xy, com vértice em (0,k) e concavidade voltada para cima.
Passo 3
Escolhemos quatro valores de nível k para esboçar quatro curvas distintas. Por exemplo, k₁=−2, k₂=0, k₃=2 e k₄=4. Assim as equações ficam:
$$
y=x^{2}+4.$$
Para esboçar cada uma, basta marcar o vértice em (0,kᵢ) e desenhar a parábola y=x² deslocada verticalmente por kᵢ, mantendo-a aberta para cima.
Para esboçar cada uma, basta marcar o vértice em (0,kᵢ) e desenhar a parábola y=x² deslocada verticalmente por kᵢ, mantendo-a aberta para cima.
Resposta
As quatro curvas de nível são: