Em que ponto a curva y=ln x tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando x infty ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o ponto onde a curva tem a curvatura máxima e também entender o que acontece com a curvatura quando vai para o infinito. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da curvatura de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da curvatura kappa = |y''|(1 + (y')^2)^3/2 para uma função :
Aqui, é a primeira derivada de em relação a e é a segunda derivada.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de y' = 1x :
y'' = -1x^2

Passo 4

Agora, substituímos kappa = | -1x^2 |(1 + (1x)^2)^3/2 = 1x^2(1 + 1x^2)^3/2 e na fórmula da curvatura:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para facilitar a análise:
kappa = 1x^2 cdot (1 + 1x^2)^-3/2 = x(x^2 + 1)^3/2

Passo 6

Para encontrar onde a curvatura é máxima, precisamos derivar kappa'(x) = (1)(x^2 + 1)^3/2 - x cdot 32(x^2 + 1)^1/2 cdot 2x(x^2 + 1)^3 em relação a e igualar a zero. Vamos chamar e derivar:

Passo 7

Simplificando o numerador:
(x^2 + 1)^3/2 - 3x^2 (x^2 + 1)^1/2 = (x^2 + 1)^1/2(x^2 + 1 - 3x^2) = (x^2 + 1)^1/2(1 - 2x^2)

Passo 8

Para que a derivada seja zero, o numerador deve ser zero:
1 - 2x^2 = 0 implies x^2 = 12 implies x = 1raiz2

Passo 9

Então, a curvatura é máxima quando .

Passo 10

Agora, vamos analisar o que acontece com a curvatura quando kappa = x(x^2 + 1)^3/2 approx xx^3 = 1x^2 tende ao infinito:
À medida que cresce, tende a zero. Portanto, a curvatura diminui e se aproxima de zero quando vai para o infinito.

Resposta

A curvatura da curva atinge seu valor máximo no ponto . Além disso, quando tende ao infinito, a curvatura diminui e se aproxima de zero.

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