Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o ponto onde a curva tem a curvatura máxima e também entender o que acontece com a curvatura quando vai para o infinito. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da curvatura de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da curvatura para uma função :
Aqui, é a primeira derivada de em relação a e é a segunda derivada.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de :
Passo 4
Agora, substituímos e na fórmula da curvatura:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a análise:
Para encontrar onde a curvatura é máxima, precisamos derivar kappa'(x) = (1)(x^2 + 1)^3/2 - x cdot 32(x^2 + 1)^1/2 cdot 2x(x^2 + 1)^3 em relação a e igualar a zero. Vamos chamar e derivar: