Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
12 cdot 3+13 cdot 4+14 cdot 5+cdots+1(n+1)(n+2)+cdots

Passo 1

Beleza, a gente tem uma série que começa assim: 12 cdot 3 + 13 cdot 4 + 14 cdot 5 + cdots. Nosso objetivo aqui é descobrir uma fórmula que represente a soma dos primeiros n termos dessa série e, se der, encontrar o valor total dessa soma quando a série for infinita. Para isso, vamos usar conceitos de séries telescópicas e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é 1(k+1)(k+2). A ideia é simplificar esse termo para facilitar a soma. A gente pode fazer isso usando a técnica de frações parciais, que separa uma fração complexa em frações mais simples.

Passo 3

Aplicando frações parciais, queremos escrever 1(k+1)(k+2) como a soma de duas frações: Ak+1 + Bk+2. Para encontrar os valores de A e B, fazemos:
1(k+1)(k+2) = Ak+1 + Bk+2
Multiplicando tudo por (k+1)(k+2) para eliminar os denominadores:
1 = A(k+2) + B(k+1)
Agora, escolhemos valores para k que simplifiquem a equação:
  • Se k = -1, temos 1 = A(1), então A = 1.
  • Se k = -2, temos 1 = B(-1), então B = -1.
Assim, conseguimos:
1(k+1)(k+2) = 1k+1 - 1k+2

Passo 4

Agora que simplificamos os termos, vamos somar a série até o n-ésimo termo:
Sn = sumk=1^n ( 1k+1 - 1k+2 )
Essa é uma série telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar ao somarmos.

Passo 5

Vamos ver como ocorre o cancelamento escrevendo os primeiros termos:
Sn = ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + cdots + ( 1n+1 - 1n+2 )
Observamos que quase todos os termos se cancelam, restando apenas:
Sn = 12 - 1n+2

Passo 6

Para encontrar a soma da série infinita, calculamos o limite da soma parcial quando n tende ao infinito:
S = limn to infty Sn = limn to infty ( 12 - 1n+2 ) = 12 - 0 = 12

Resposta

A soma da série é 12.

Exercícios relacionados