Encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma série que começa assim:
. Nosso objetivo aqui é descobrir uma fórmula que represente a soma dos primeiros
termos dessa série e, se der, encontrar o valor total dessa soma quando a série for infinita. Para isso, vamos usar conceitos de séries telescópicas e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é
. A ideia é simplificar esse termo para facilitar a soma. A gente pode fazer isso usando a técnica de frações parciais, que separa uma fração complexa em frações mais simples.
Passo 3
Aplicando frações parciais, queremos escrever
como a soma de duas frações:
. Para encontrar os valores de
e
, fazemos:
Multiplicando tudo por
para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores para
que simplifiquem a equação:
- Se
, temos , então . - Se
, temos , então .
Assim, conseguimos:
Passo 4
Agora que simplificamos os termos, vamos somar a série até o
-ésimo termo:
Essa é uma série telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar ao somarmos.
Passo 5
Vamos ver como ocorre o cancelamento escrevendo os primeiros termos:
Observamos que quase todos os termos se cancelam, restando apenas:
Passo 6
Para encontrar a soma da série infinita, calculamos o limite da soma parcial quando
tende ao infinito:
Resposta
A soma da série é
.