Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Centro
, eixo maior vertical de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 6.
Centro
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado: centro
. - Dado: eixo maior vertical de comprimento
. - Dado: eixo menor de comprimento
. - Pedido: determinar a equação reduzida da elipse que satisfaz essas condições.
Passo 2
Entendendo a forma padrão da equação de uma elipse com centro na origem e eixos alinhados aos eixos coordenados.
- Para uma elipse com centro em
e eixos alinhados, existem duas formas padrão, dependendo de qual eixo é o maior: - Se o eixo maior é horizontal (isto é, semi-eixo maior ao longo de
), a equação é
com . Aqui é o semi-eixo maior (metade do comprimento do eixo maior) e é o semi-eixo menor. - Se o eixo maior é vertical (isto é, semi-eixo maior ao longo de
), a equação é
com . Nesse caso também é o semi-eixo maior (associado a ) e é o semi-eixo menor (associado a ). - Se o eixo maior é horizontal (isto é, semi-eixo maior ao longo de
Explicando cada símbolo:
-
é o semi-eixo maior (distância do centro até um vértice no eixo maior). -
é o semi-eixo menor (distância do centro até um vértice no eixo menor). - Os denominadores
e controlam a “alongamento” em cada direção: o maior denominador corresponde ao eixo maior.
Passo 3
Calcular os semi-eixos a partir dos comprimentos dados (lembre: semi-eixo = metade do comprimento do eixo).
- Comprimento do eixo maior =
então
- Comprimento do eixo menor =
então
Aqui ficou claro que
e
, e realmente
.
Passo 4
Escolher a forma correta da equação conforme a orientação do eixo maior.
- O enunciado diz que o eixo maior é vertical. Pelo que vimos no Passo 2, quando o eixo maior é vertical usamos a forma
Passo 5
Substituir os valores de
e
na equação e simplificar.
- Calcular
e :
- Substituindo na forma apropriada:
Passo 6
Checagem rápida (para ganhar confiança): os vértices esperados são
e
. Verificar um vértice em
:
então
pertence à elipse. Verificar
:
logo
também pertence. Ótimo: a equação está coerente com os comprimentos dados.