Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Centro (0,0), eixo maior vertical de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 6.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: centro (0,0).
  • Dado: eixo maior vertical de comprimento 8.
  • Dado: eixo menor de comprimento 6.
  • Pedido: determinar a equação reduzida da elipse que satisfaz essas condições.

Passo 2

Entendendo a forma padrão da equação de uma elipse com centro na origem e eixos alinhados aos eixos coordenados.
  • Para uma elipse com centro em (0,0) e eixos alinhados, existem duas formas padrão, dependendo de qual eixo é o maior:
    • Se o eixo maior é horizontal (isto é, semi-eixo maior ao longo de x), a equação é
    \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,com a>b. Aqui a é o semi-eixo maior (metade do comprimento do eixo maior) e b é o semi-eixo menor.
    • Se o eixo maior é vertical (isto é, semi-eixo maior ao longo de y), a equação é
    \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1,com a>b. Nesse caso também a é o semi-eixo maior (associado a y) e b é o semi-eixo menor (associado a x).
Explicando cada símbolo:
  • \;a\; é o semi-eixo maior (distância do centro até um vértice no eixo maior).
  • \;b\; é o semi-eixo menor (distância do centro até um vértice no eixo menor).
  • Os denominadores a^{2} e b^{2} controlam a “alongamento” em cada direção: o maior denominador corresponde ao eixo maior.

Passo 3

Calcular os semi-eixos a partir dos comprimentos dados (lembre: semi-eixo = metade do comprimento do eixo).
  • Comprimento do eixo maior = 8 então
a=\frac{8}{2}=4.
  • Comprimento do eixo menor = 6 então
b=\frac{6}{2}=3.
Aqui ficou claro que a=4 e b=3, e realmente a>b.

Passo 4

Escolher a forma correta da equação conforme a orientação do eixo maior.
  • O enunciado diz que o eixo maior é vertical. Pelo que vimos no Passo 2, quando o eixo maior é vertical usamos a forma
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1.

Passo 5

Substituir os valores de a e b na equação e simplificar.
  • Calcular a^{2} e b^{2}:
a^{2}=4^{2}=16,\qquad b^{2}=3^{2}=9.
  • Substituindo na forma apropriada:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1.

Passo 6

Checagem rápida (para ganhar confiança): os vértices esperados são (0,\pm a)=(0,\pm 4) e (\pm b,0)=(\pm 3,0). Verificar um vértice em (0,4):
\frac{0^{2}}{9}+\frac{4^{2}}{16}=0+\frac{16}{16}=1,
então (0,4) pertence à elipse. Verificar (3,0):
\frac{3^{2}}{9}+\frac{0^{2}}{16}=\frac{9}{9}+0=1,
logo (3,0) também pertence. Ótimo: a equação está coerente com os comprimentos dados.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1

Exercícios relacionados