Esboce o gráfico das elipses:
(b) \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce (desenhe) o gráfico da elipse dada pela equação
\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Informações fornecidas:
  • A equação da curva é exatamente \dfrac{x^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.
  • Não há translação (não há termos em x ou y isolados), portanto a curva é centrada na origem (0,0).
    O pedido único é: esboçar o gráfico dessa elipse.

Passo 2

Entender a forma padrão da elipse (a “aula rápida”).
  • A forma padrão centrada na origem é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a>0 e b>0 são os semi-eixos na direção x e y, respectivamente.
  • Interpretando os denominadores: se a equação tem \dfrac{x^{2}}{a^{2}} então o semi-eixo horizontal vale a; se tem \dfrac{y^{2}}{b^{2}} então o semi-eixo vertical vale b.
    Aplicando ao nosso caso:
\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad a^{2}=1,\\ b^{2}=4,
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a=1,\qquad b=2.

Passo 3

Achar os pontos principais (vértices e interseções com os eixos) — passo essencial para esboçar.
  • Interseção com o eixo x: pôr y=0 na equação:
\frac{x^{2}}{1}+0=1 \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm 1.
Portanto há pontos \bigl(\pm 1,0\bigr).
  • Interseção com o eixo y: pôr x=0:
0+\frac{y^{2}}{4}=1 \Rightarrow y^{2}=4 \Rightarrow y=\pm 2.
Portanto há pontos \bigl(0,\pm 2\bigr).
Esses quatro pontos são os vértices (dois na direção do eixo maior e dois do menor).

Passo 4

Identificar o eixo maior e o eixo menor e suas medidas.
  • Comparando a e b: a=1 e b=2. Como b>a, o eixo maior é vertical (direção y).
  • Comprimentos:
    • Semi-eixo maior =b=2 → eixo maior total =2b=4.
    • Semi-eixo menor =a=1 → eixo menor total =2a=2.
      Em palavras: a elipse é mais “esticada” na direção vertical, com altura 4 e largura 2.

Passo 5

Representação paramétrica útil para traçar pontos sem calculadora.
  • Uma parametrização simples da elipse padrão é
x=\!a\cos t,\qquad y=\!b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
No nosso caso:
x=\cos t,\qquad y=2\sin t.
Vou listar alguns pontos fáceis (exatos) para ajudar no esboço:
  • t=0: \bigl(x,y\bigr)=(\cos 0,2\sin 0)=(1,0).
  • t=\tfrac{\pi}{2}: \bigl(x,y\bigr)=(0,2).
  • t=\pi: \bigl(x,y\bigr)=(-1,0).
  • t=\tfrac{3\pi}{2}: \bigl(x,y\bigr)=(0,-2).
    Outros pontos úteis:
  • t=\tfrac{\pi}{4}: \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},2\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\bigr).
  • t=\tfrac{\pi}{6}: \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},2\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)=\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},1\bigr).
    Esses pontos traçados simetricamente dão boa forma ao esboço.

Passo 6

Tangentes e comportamento local (para saber como ligar os pontos).
  • Diferenciando implicitamente a equação para obter a inclinação y'=\dfrac{dy}{dx}:
\frac{2x}{1}+\frac{2y}{4}\,y'=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+\frac{y}{2}y'=0.
Isolando y':
y'=-\frac{4x}{y}.
  • Observações úteis:
    • Nos vértices horizontais (\pm 1,0) temos y=0, então a fórmula dá divisão por zero: isso indica tangente vertical em (\pm 1,0) — faz sentido, a elipse “vira” verticalmente ali.
    • Nos vértices verticais (0,\pm 2) temos x=0, então y'=0: tangente horizontal nesses pontos.
      Essa informação ajuda a desenhar as curvas com o ângulo correto nas extremidades.

Passo 7

Instrução prática para esboçar (mão no lápis — passo a passo de desenho):
  1. Desenhe os eixos coordenados x e y e marque uma escala: no eixo x marque -1 e 1; no eixo y marque -2 e 2.
  2. Marque os vértices: (1,0),(-1,0),(0,2),(0,-2).
  3. Marque os pontos intermediários calculados, por exemplo \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\bigr) e \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},1\bigr), e os seus simétricos nos quatro quadrantes.
  4. Desenhe uma curva suave passando por esses pontos, respeitando as tangentes (horizontais em (0,\pm 2), verticais em (\pm 1,0)). A curva deve ser simétrica em relação aos eixos x e y.
  5. Verifique visualmente que a largura máxima é 2 e a altura máxima é 4.
    Pronto — esse é o esboço da elipse.

Resposta

Elipse centrada na origem com semi-eixos a=1 (horizontal) e b=2 (vertical).
Vértices: \bigl(\pm 1,0\bigr) e \bigl(0,\pm 2\bigr).
Equação paramétrica: x=\cos t,\; y=2\sin t para t\in[0,2\pi).

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