Esboce o gráfico das elipses:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce (desenhe) o gráfico da elipse dada pela equação
Informações fornecidas:
- A equação da curva é exatamente
. - Não há translação (não há termos em
ou isolados), portanto a curva é centrada na origem .
O pedido único é: esboçar o gráfico dessa elipse.
Passo 2
Entender a forma padrão da elipse (a “aula rápida”).
- A forma padrão centrada na origem é
onde
e
são os semi-eixos na direção
e
, respectivamente.
- Interpretando os denominadores: se a equação tem
então o semi-eixo horizontal vale ; se tem então o semi-eixo vertical vale .
Aplicando ao nosso caso:
logo
Passo 3
Achar os pontos principais (vértices e interseções com os eixos) — passo essencial para esboçar.
- Interseção com o eixo
: pôr na equação:
Portanto há pontos
.
- Interseção com o eixo
: pôr :
Portanto há pontos
.
Esses quatro pontos são os vértices (dois na direção do eixo maior e dois do menor).
Esses quatro pontos são os vértices (dois na direção do eixo maior e dois do menor).
Passo 4
Identificar o eixo maior e o eixo menor e suas medidas.
- Comparando
e : e . Como , o eixo maior é vertical (direção ). - Comprimentos:
- Semi-eixo maior
→ eixo maior total . - Semi-eixo menor
→ eixo menor total .
Em palavras: a elipse é mais “esticada” na direção vertical, com alturae largura .
- Semi-eixo maior
Passo 5
Representação paramétrica útil para traçar pontos sem calculadora.
- Uma parametrização simples da elipse padrão é
No nosso caso:
Vou listar alguns pontos fáceis (exatos) para ajudar no esboço:
-
: . -
: . -
: . -
: .
Outros pontos úteis: -
: . -
: .
Esses pontos traçados simetricamente dão boa forma ao esboço.
Passo 6
Tangentes e comportamento local (para saber como ligar os pontos).
- Diferenciando implicitamente a equação para obter a inclinação
:
Isolando
:
- Observações úteis:
- Nos vértices horizontais
temos , então a fórmula dá divisão por zero: isso indica tangente vertical em — faz sentido, a elipse “vira” verticalmente ali. - Nos vértices verticais
temos , então : tangente horizontal nesses pontos.
Essa informação ajuda a desenhar as curvas com o ângulo correto nas extremidades.
- Nos vértices horizontais
Passo 7
Instrução prática para esboçar (mão no lápis — passo a passo de desenho):
- Desenhe os eixos coordenados
e e marque uma escala: no eixo marque e ; no eixo marque e . - Marque os vértices:
. - Marque os pontos intermediários calculados, por exemplo
e , e os seus simétricos nos quatro quadrantes. - Desenhe uma curva suave passando por esses pontos, respeitando as tangentes (horizontais em
, verticais em ). A curva deve ser simétrica em relação aos eixos e . - Verifique visualmente que a largura máxima é
e a altura máxima é .
Pronto — esse é o esboço da elipse.
Resposta
Elipse centrada na origem com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical).
Vértices: e
.
Equação paramétrica: para
.
Vértices:
Equação paramétrica: