(0,5) Determine o nome da seguinte superfície quadrática no espaço \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o nome da superfície quadrática dada pela equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.
Informações fornecidas:
  • A equação é de segundo grau nas variáveis x,y,z.
  • Não aparecem termos mistos ( xy,xz,yz) nem termos lineares ( x,y,z) explícitos.
  • O termo constante do lado esquerdo (quando colocamos toda a equação igual a zero) é -25.

Passo 2

Vamos lembrar qual é a forma padrão de uma esfera no espaço e o que ela representa. A forma padrão da equação de uma esfera com centro em (x_0,y_0,z_0) e raio r é
(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}+(z-z_0)^{2}=r^{2}.
Explicando cada parte dessa fórmula:
  • (x-x_0) é a diferença entre a coordenada x de um ponto genérico e a coordenada x_0 do centro; analogamente para y e z.
  • Cada quadrado mede a contribuição ao quadrado da distância em cada direção.
  • A soma dos três quadrados é igual a r^{2}, que é o quadrado do raio; geometricamente isso garante que todos os pontos que satisfazem essa equação têm a mesma distância r ao ponto (x_0,y_0,z_0).

Passo 3

Compare agora a nossa equação com a forma geral de uma esfera. A equação dada é
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25,
que pode ser reescrita como
x^{2}+y^{2}+z^{2}-25=0.
Para colocá-la na forma padrão, observe que já temos termos quadráticos puros com coeficiente 1 e não há termos lineares. Isso equivale a escrever
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=25.
Logo o centro é (0,0,0) e r^{2}=25.

Passo 4

Calcule o raio explicitamente a partir de r^{2}=25. Tomando raiz quadrada (raio é não-negativo),
r=\sqrt{25}=5.
Então a superfície é o conjunto de todos os pontos a distância 5 do ponto (0,0,0).

Passo 5

Resumo didático e dica de prova:
  • Se na equação quadrática os coeficientes dos termos x^{2},y^{2},z^{2} são todos iguais e positivos, e não há termos mistos nem termos lineares, então é uma esfera centrada na origem; o raio é a raiz quadrada do termo constante do lado direito.
  • Se houvesse deslocamentos (termos lineares), usar-se-ia completar quadrados para encontrar (x_0,y_0,z_0).
  • Exemplos rápidos para treinar: (x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=9 é esfera de centro (1,-2,3) e raio 3. A equação 4x^{2}+4y^{2}+4z^{2}=36 também é esfera pois divide-se por 4 e obtém-se x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, raio 3.

Resposta

Esfera de raio 5 centrada na origem.

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