Determine o nome da seguinte superfície quadrática no espaço
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o nome da superfície quadrática dada pela equação
Informações fornecidas:
- A equação é de segundo grau nas variáveis
. - Não aparecem termos mistos (
) nem termos lineares ( ) explícitos. - O termo constante do lado esquerdo (quando colocamos toda a equação igual a zero) é
.
Passo 2
Vamos lembrar qual é a forma padrão de uma esfera no espaço e o que ela representa. A forma padrão da equação de uma esfera com centro em
e raio
é
Explicando cada parte dessa fórmula:
-
é a diferença entre a coordenada de um ponto genérico e a coordenada do centro; analogamente para e . - Cada quadrado mede a contribuição ao quadrado da distância em cada direção.
- A soma dos três quadrados é igual a
, que é o quadrado do raio; geometricamente isso garante que todos os pontos que satisfazem essa equação têm a mesma distância ao ponto .
Passo 3
Compare agora a nossa equação com a forma geral de uma esfera. A equação dada é
que pode ser reescrita como
Para colocá-la na forma padrão, observe que já temos termos quadráticos puros com coeficiente
e não há termos lineares. Isso equivale a escrever
Logo o centro é
e
.
Passo 4
Calcule o raio explicitamente a partir de
. Tomando raiz quadrada (raio é não-negativo),
Então a superfície é o conjunto de todos os pontos a distância
do ponto
.
Passo 5
Resumo didático e dica de prova:
- Se na equação quadrática os coeficientes dos termos
são todos iguais e positivos, e não há termos mistos nem termos lineares, então é uma esfera centrada na origem; o raio é a raiz quadrada do termo constante do lado direito. - Se houvesse deslocamentos (termos lineares), usar-se-ia completar quadrados para encontrar
. - Exemplos rápidos para treinar:
é esfera de centro e raio . A equação também é esfera pois divide-se por e obtém-se , raio .
Resposta
Esfera de raio
centrada na origem.