Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Centro ( -1,1 ), uma assíntota paralela a y=\frac{3}{4} x e ( -1, \frac{7}{2} ) um foco.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Centro da hipérbole: (-1,1).
  • Uma assíntota é paralela à reta y=\dfrac{3}{4}x. Logo a inclinação (coeficiente angular) da assíntota tem módulo \dfrac{3}{4}.
  • Um foco: \left(-1,\dfrac{7}{2}\right).
O que se pede: a equação reduzida (forma padrão) da hipérbole que satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro identificar a orientação (eixo transverso vertical ou horizontal). Note que o foco \left(-1,\dfrac{7}{2}\right) tem a mesma abscissa que o centro (-1,1). Isso significa que o foco está deslocado verticalmente a partir do centro, portanto o eixo transverse é vertical. Em palavras simples: a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo vertical).

Passo 3

Escrever a forma padrão da hipérbole com eixo transverse vertical e centro (h,k). Para eixo vertical a forma reduzida é
\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1,
onde:
  • (h,k)=(-1,1) é o centro,
  • a>0 é o semi-eixo semi-transversal (distância do centro ao vértice no sentido y),
  • b>0 é o outro semi-eixo,
  • os assíntotas têm equações y-k=\pm\frac{a}{b}(x-h), ou seja, o coeficiente angular das assíntotas é \pm\frac{a}{b}.

Passo 4

A inclinação dada da assíntota é \pm\dfrac{3}{4} (módulo \dfrac{3}{4}). Pela fórmula das assíntotas para a hipérbole vertical temos
\frac{a}{b}=\frac{3}{4}.
Dessa igualdade obtemos
a=\frac{3}{4}\,b.

Passo 5

Agora usar a informação do foco. A distância do centro ao foco é c. Para a hipérbole vale a relação
c^2=a^2+b^2.
Calcular c a partir dos pontos fornecidos: o centro é (-1,1) e o foco é \left(-1,\dfrac{7}{2}\right), então
c=\left|\dfrac{7}{2}-1\right|=\left|\dfrac{5}{2}\right|=\dfrac{5}{2}.
Logo
c^2=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4}.
Substituindo a=\dfrac{3}{4}b em c^2=a^2+b^2:
\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\left(\dfrac{3}{4}b\right)^2+b^2
\dfrac{25}{4}=\dfrac{9}{16}b^2+b^2=\left(\dfrac{9}{16}+\dfrac{16}{16}\right)b^2=\dfrac{25}{16}b^2.
Isolando b^2:
b^2=\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{25}{4}=\dfrac{16}{4}=4.

Passo 6

Com b^2=4 obtemos b=2 (positivo por convenção). Agora a=\dfrac{3}{4}b
a=\dfrac{3}{4}\cdot 2=\dfrac{3}{2},
portanto
a^2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}.
Verificação rápida (controle): a^2+b^2=\dfrac{9}{4}+4=\dfrac{9+16}{4}=\dfrac{25}{4}=c^2, consistente com o foco dado.

Passo 7

Substituir h=-1, k=1, a^2=\dfrac{9}{4} e b^2=4 na forma padrão da hipérbole vertical:
\frac{(y-1)^2}{9/4}-\frac{(x+1)^2}{4}=1.
Opcionalmente pode-se escrever de forma um pouco mais “limpa” multiplicando numeradores:
\frac{4(y-1)^2}{9}-\frac{(x+1)^2}{4}=1.

Resposta

\frac{(y-1)^2}{9/4}-\frac{(x+1)^2}{4}=1

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