Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Centro ( -1,1 ), uma assíntota paralela a y=\frac{3}{4} x e ( -1, \frac{7}{2} ) um foco.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Centro da hipérbole: (-1,1).
Uma assíntota é paralela à reta y=\dfrac{3}{4}x. Logo a inclinação (coeficiente angular) da assíntota tem módulo \dfrac{3}{4}.
Um foco: \left(-1,\dfrac{7}{2}\right).
O que se pede: a equação reduzida (forma padrão) da hipérbole que satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro identificar a orientação (eixo transverso vertical ou horizontal). Note que o foco \left(-1,\dfrac{7}{2}\right) tem a mesma abscissa que o centro (-1,1). Isso significa que o foco está deslocado verticalmente a partir do centro, portanto o eixo transverse é vertical. Em palavras simples: a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo vertical).
Passo 3
Escrever a forma padrão da hipérbole com eixo transverse vertical e centro (h,k). Para eixo vertical a forma reduzida é
\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1,
onde:
(h,k)=(-1,1) é o centro,
a>0 é o semi-eixo semi-transversal (distância do centro ao vértice no sentido y),
b>0 é o outro semi-eixo,
os assíntotas têm equações y-k=\pm\frac{a}{b}(x-h), ou seja, o coeficiente angular das assíntotas é \pm\frac{a}{b}.
Passo 4
A inclinação dada da assíntota é \pm\dfrac{3}{4} (módulo \dfrac{3}{4}). Pela fórmula das assíntotas para a hipérbole vertical temos
\frac{a}{b}=\frac{3}{4}.
Dessa igualdade obtemos
a=\frac{3}{4}\,b.
Passo 5
Agora usar a informação do foco. A distância do centro ao foco é c. Para a hipérbole vale a relação
c^2=a^2+b^2.
Calcular c a partir dos pontos fornecidos: o centro é (-1,1) e o foco é \left(-1,\dfrac{7}{2}\right), então