Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Vértices
e
, eixo imaginário de comprimento 8.
Vértices
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido) e pede a equação reduzida da hipérbole:
- Vértices:
e . - Comprimento do eixo imaginário:
.
O que é pedido:
- Determinar a equação reduzida (forma canônica) da hipérbole que satisfaz esses dados.
Passo 2
Encontrar o centro da hipérbole a partir dos vértices.
Os vértices são pontos opostos do eixo transverso; o centro é o ponto médio entre eles. Calcular o ponto médio de e
:
Os vértices são pontos opostos do eixo transverso; o centro é o ponto médio entre eles. Calcular o ponto médio de
Logo o centro é
.
Passo 3
Determinar a orientação do eixo transverso.
Os vértices têm a mesma coordenada e
diferentes, ou seja, estão verticalmente alinhados. Isso indica que o eixo transverso é vertical (a hipérbole abre para cima e para baixo a partir do centro). Portanto a forma padrão da hipérbole será a com o termo
positivo:
Os vértices têm a mesma coordenada
Vou explicar: em hipérboles centradas em
,
- se o eixo transverso é vertical a equação padrão é
; - se fosse horizontal seria
.
Passo 4
Determinar
usando os vértices.
Por definição, os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo transverso. A coordenada
do centro é
. Um dos vértices tem
, então
Por definição, os vértices estão a uma distância
Portanto
e
.
Passo 5
Interpretar o comprimento do eixo imaginário para obter
.
O “eixo imaginário” refere-se ao eixo conjugado da hipérbole, cujo comprimento total é . O enunciado informa que esse comprimento é
. Assim:
O “eixo imaginário” refere-se ao eixo conjugado da hipérbole, cujo comprimento total é
Logo
e
.
Passo 6
Escrever a equação canônica com os valores encontrados.
Substituindo ,
,
e
na forma para eixo transverso vertical:
Substituindo
Pode-se simplificar escrevendo:
Passo 7
Verificação rápida (checada para ter certeza):
- Substituindo o vértice
na equação:
confere.
- O eixo imaginário (conjugado) tem pontos finais
, ou seja e , cuja distância é , conferindo o dado.