Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Vértices (-1,-4) e (-1,4), eixo imaginário de comprimento 8.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido) e pede a equação reduzida da hipérbole:
  • Vértices: (-1,-4) e (-1,4).
  • Comprimento do eixo imaginário: 8.
O que é pedido:
  • Determinar a equação reduzida (forma canônica) da hipérbole que satisfaz esses dados.

Passo 2

Encontrar o centro da hipérbole a partir dos vértices.
Os vértices são pontos opostos do eixo transverso; o centro é o ponto médio entre eles. Calcular o ponto médio de (-1,-4) e (-1,4):
h=\frac{-1+(-1)}{2}=\frac{-2}{2}=-1,\qquad k=\frac{-4+4}{2}=\frac{0}{2}=0.
Logo o centro é (h,k)=(-1,0).

Passo 3

Determinar a orientação do eixo transverso.
Os vértices têm a mesma coordenada x=-1 e y diferentes, ou seja, estão verticalmente alinhados. Isso indica que o eixo transverso é vertical (a hipérbole abre para cima e para baixo a partir do centro). Portanto a forma padrão da hipérbole será a com o termo (y-k)^2 positivo:
\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1.
Vou explicar: em hipérboles centradas em (h,k),
  • se o eixo transverso é vertical a equação padrão é \dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1;
  • se fosse horizontal seria \dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1.

Passo 4

Determinar a usando os vértices.
Por definição, os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo transverso. A coordenada y do centro é k=0. Um dos vértices tem y=4, então
a=|4-0|=4.
Portanto a=4 e a^2=16.

Passo 5

Interpretar o comprimento do eixo imaginário para obter b.
O “eixo imaginário” refere-se ao eixo conjugado da hipérbole, cujo comprimento total é 2b. O enunciado informa que esse comprimento é 8. Assim:
2b=8 \quad\Rightarrow\quad b=4.
Logo b=4 e b^2=16.

Passo 6

Escrever a equação canônica com os valores encontrados.
Substituindo h=-1, k=0, a^2=16 e b^2=16 na forma para eixo transverso vertical:
\frac{(y-0)^2}{16}-\frac{(x+1)^2}{16}=1.
Pode-se simplificar escrevendo:
\frac{y^2}{16}-\frac{(x+1)^2}{16}=1.

Passo 7

Verificação rápida (checada para ter certeza):
  • Substituindo o vértice (-1,4) na equação:
\frac{4^2}{16}-\frac{(-1+1)^2}{16}=\frac{16}{16}-\frac{0}{16}=1,
confere.
  • O eixo imaginário (conjugado) tem pontos finais (h\pm b,k)=(-1\pm4,0), ou seja (3,0) e (-5,0), cuja distância é 8, conferindo o dado.

Resposta

\frac{y^2}{16}-\frac{(x+1)^2}{16}=1

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