Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Centro
, eixo imaginário de comprimento 6, eixo real de comprimento 10 , sendo o eixo real vertical.
Centro
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Centro:
. - Comprimento do eixo real:
. - Comprimento do eixo imaginário:
. - O eixo real é vertical (ou seja: o eixo transverso — o que corresponde aos vértices reais — está na direção vertical).
O que o enunciado pede: determinar a equação reduzida (forma padrão) da hipérbole que satisfaz essas condições.
Passo 2
Relembrando a forma padrão (reduzida) das hipérboles centradas em
.
- Se a hipérbole tem eixo transverso horizontal (vértices à esquerda/direita do centro), a forma reduzida é
Aqui:
-
é o centro, -
é a semi‑distância do centro até cada vértice real (meio do eixo real), -
é a semi‑distância do centro até cada extremidade do eixo conjugado (meio do eixo imaginário). -
Se a hipérbole tem eixo transverso vertical (vértices acima/abaixo do centro), a forma reduzida é
As interpretações de
são análogas; a diferença é que o termo positivo primeiro indica a direção do eixo real (transverso).
Observação intuitiva: o sinal positivo vem do quadrado da coordenada que varia mais para os vértices reais.
Passo 3
Relacionar os comprimentos dados com
e
.
- O comprimento do eixo real é
. Como o enunciado dá comprimento , temos
- O comprimento do eixo imaginário (conjugado) é
. Como o enunciado dá , temos
Explicando:
e
são as metades dos comprimentos dos respectivos eixos; por isso dividi os comprimentos por
.
Passo 4
Determinar qual das formas padrão usar e construir a equação.
- O enunciado diz que o eixo real é vertical, ou seja, o eixo transverso (onde estão os vértices reais) é vertical. Portanto usamos a forma com
positiva primeiro:
- Substituindo
, , , , obtemos
Passo 5
Simplificar os termos numéricos para escrever a equação final de forma bonita.
- Calculando os quadrados:
- Portanto a equação reduzida fica
Como checagem rápida (útil na prova): os vértices reais estão em
, isto é
e
; a distância entre eles é
, compatível com o comprimento do eixo real informado.