Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Centro (2,-3), eixo imaginário de comprimento 6, eixo real de comprimento 10 , sendo o eixo real vertical.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Centro: (2,-3).
  • Comprimento do eixo real: 10.
  • Comprimento do eixo imaginário: 6.
  • O eixo real é vertical (ou seja: o eixo transverso — o que corresponde aos vértices reais — está na direção vertical).
    O que o enunciado pede: determinar a equação reduzida (forma padrão) da hipérbole que satisfaz essas condições.

Passo 2

Relembrando a forma padrão (reduzida) das hipérboles centradas em (h,k).
  • Se a hipérbole tem eixo transverso horizontal (vértices à esquerda/direita do centro), a forma reduzida é
\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.
Aqui:
  • (h,k) é o centro,
  • a>0 é a semi‑distância do centro até cada vértice real (meio do eixo real),
  • b>0 é a semi‑distância do centro até cada extremidade do eixo conjugado (meio do eixo imaginário).
  • Se a hipérbole tem eixo transverso vertical (vértices acima/abaixo do centro), a forma reduzida é
\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1.
As interpretações de h,k,a,b são análogas; a diferença é que o termo positivo primeiro indica a direção do eixo real (transverso).
Observação intuitiva: o sinal positivo vem do quadrado da coordenada que varia mais para os vértices reais.

Passo 3

Relacionar os comprimentos dados com a e b.
  • O comprimento do eixo real é 2a. Como o enunciado dá comprimento 10, temos
2a=10 \quad\Rightarrow\quad a=5.
  • O comprimento do eixo imaginário (conjugado) é 2b. Como o enunciado dá 6, temos
2b=6 \quad\Rightarrow\quad b=3.
Explicando: a e b são as metades dos comprimentos dos respectivos eixos; por isso dividi os comprimentos por 2.

Passo 4

Determinar qual das formas padrão usar e construir a equação.
  • O enunciado diz que o eixo real é vertical, ou seja, o eixo transverso (onde estão os vértices reais) é vertical. Portanto usamos a forma com (y-k)^2 positiva primeiro:
\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1.
  • Substituindo h=2, k=-3, a=5, b=3, obtemos
\frac{(y-(-3))^2}{5^2}-\frac{(x-2)^2}{3^2}=1.

Passo 5

Simplificar os termos numéricos para escrever a equação final de forma bonita.
  • Calculando os quadrados:
5^2=25,\qquad 3^2=9.
  • Portanto a equação reduzida fica
\frac{(y+3)^2}{25}-\frac{(x-2)^2}{9}=1.
Como checagem rápida (útil na prova): os vértices reais estão em (h,k\pm a)=(2,-3\pm5), isto é (2,2) e (2,-8); a distância entre eles é 10, compatível com o comprimento do eixo real informado.

Resposta

\frac{(y+3)^2}{25}-\frac{(x-2)^2}{9}=1

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