Determine a equação reduzida do plano que contém o ponto (-1,2,-3) e é perpendicular a reta r:lx=2 y-2 z=1-3 y
a) 2 x+y-3 z=9
b) 2 x+y-3 z=13
c) 2 x+y+3 z=5
d) 2 x+y-3 z=-9

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida do plano que passa por (-1,2,-3) e é perpendicular à reta
r: x = 2y - 2, z = 1 - 3y
O conteúdo é geometria analítica de planos: um plano é perpendicular a uma reta quando o vetor diretor da reta é normal ao plano.

Passo 2

Para encontrar o vetor diretor da reta, parametrizamos por y = t. Então
x = 2t - 2, y = t, z = 1 - 3t
O vetor diretor é
v = (2,,1,,-3)

Passo 3

Como o plano é perpendicular à reta, seu vetor normal n é paralelo a v. Podemos, sem perda, tomar
n = (2,,1,,-3)
Logo a equação geral do plano é
2x + y - 3z + D = 0

Passo 4

Para achar D, usamos o ponto (-1,2,-3) que pertence ao plano. Substituindo:
2(-1) + (2) - 3(-3) + D = 0 Longrightarrow -2 + 2 + 9 + D = 0 Longrightarrow 9 + D = 0 Longrightarrow D = -9
Assim a equação reduzida é
2x + y - 3z - 9 = 0 Long<=ftrightarrow 2x + y - 3z = 9

Passo 5

Comparando com as alternativas, vemos que corresponde à letra (a).

Resposta

(a) 2x + y - 3z = 9

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