Determine a equação reduzida do plano que contenha os pontos A(1,-1,-1), B(0,-1,2) e C(-5,0,-2)
a. 3 x+19 y+z+17=0
b. x+5 y-z+3=0
C. 5 x+19 y-11 z+3=0
d. 3 x+19 y+z-17=0

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida do plano que passa pelos pontos A(1,-1,-1), B(0,-1,2) e C(-5,0,-2). Vamos usar geometria analítica: formamos dois vetores do plano, calculamos seu produto vetorial para obter a normal e, em seguida, determinamos a constante da equação.

Passo 2

Formamos os vetores
AB = B - A = (0-1,,-1+1,;2+1) = (-1,,0,,3),
AC = C - A = (-5-1,;0+1,;-2+1) = (-6,,1,,-1)

Passo 3

O vetor normal n do plano é
n = ABtimes AC = l(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r),
onde (a1,a2,a3)=(-1,0,3) e (b1,b2,b3)=(-6,1,-1). Calculando,
n = (0cdot(-1)-3cdot1,;3cdot(-6)-(-1)cdot(-1),;(-1)cdot1-0cdot(-6)) = (-3,-19,-1)
Podemos multiplicar por -1 para simplificar:
n=(3,,19,,1)

Passo 4

A equação geral do plano com normal (3,19,1) é
3x + 19y + z + D = 0
Para achar D, substituímos o ponto A(1,-1,-1):
3cdot1 + 19cdot(-1) + (-1) + D = 0 Longrightarrow 3 -19 -1 + D = 0 Longrightarrow D = 17
Logo a equação reduzida é
3x + 19y + z + 17 = 0

Resposta

a. 3x+19y+z+17=0

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