Determine a equação reduzida do plano:
Que passa pelos pontos A(1,0,1), B(1,-1,1) e é paralelo a reta:
r: x-1=y-1=z-12

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida do plano que passa por A(1,0,1), B(1,−1,1) e é paralelo à reta r dada por x−1 = y−1 = (z−1)/2. O conteúdo principal aqui é geometria analítica de planos: vamos usar vetores diretores, produto vetorial para achar a normal e depois a forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Para começar, precisamos de dois vetores diretores do plano. Um deles vem dos pontos A e B:
AB = B - A = (1, -1, 1) - (1, 0, 1) = (0, -1, 0)
O outro é o vetor diretor da reta r. Se escrevermos r em forma paramétrica:
x = 1 + t, y = 1 + t, z = 1 + 2t,
então o vetor diretor é
v = (1, 1, 2)

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial de AB com v para obter um vetor normal n ao plano. Calculando:
n = AB times v = i & j & k 0 & -1 & 0 1 & 1 & 2 = (-2),i + 0,j + 1,k = (-2, 0, 1)

Passo 4

Com a normal n=(-2,0,1) e sabendo que o plano passa por A(1,0,1), usamos a forma ponto-normal:
ncdot (x - 1, y - 0, z - 1) = 0
Isso dá
-2(x - 1) + 0(y - 0) + 1(z - 1) = 0
Simplificando:
-2x + 2 + z - 1 = 0
2x - z - 1 = 0

Passo 5

Como não há termo em y, podemos isolar z na forma reduzida (forma z = ax + by + c):
z = 2x - 1

Resposta

z = 2x - 1

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